Многочлены

Многочлен – это сумма одночленов.

Одночлены, из которых составлен многочлен, называют членами многочлена. Многочлен, состоящий из двух членов, называют двучленом, из трех членов – трехчленом. А одночлен считают многочленом, состоящим из одного члена.

Чтобы решить многочлен, надо свести подобные члены. Например:

5а²b + 2 + 4аb² – 3а²b – 7 = (5а²b – 3а²b) + 4аb² + (2 – 7) = 2а²b + 4аb² – 5.

 (Пояснение: в этом примере подобными являются две пары членов:

5а²b и 3а²b - это одна пара, 2 и 7 - другая пара).

Наибольшую степень в многочлене называют степенью многочлена.

Например, многочлен 3x³ + 4x² является многочленом третьей степени.

Сложение многочленов.

Сложим многочлены 5х² + 7х – 9 и – 3х² – 6х + 8. Для этого выделим их в скобки, затем раскроем скобки и приведем подобные члены:

(5х² + 7х – 9) + (–3х² – 6х + 8) = 5х² + 7х – 9 – 3х² – 6х + 8 =

= 5х² – 3х² + 7х – 6х – 9 + 8 = 2х² + х – 1.

Вычитание многочленов.

При вычитании многочленов важно помнить, что после раскрытия скобок знаки во втором многочлене меняются на противоположные.

Вычтем из многочлена х³ + 5х² – х + 8 многочлен х³ – 7х – 1. Для этого выделим их в скобки, затем раскроем их, учитывая знак минус перед вторым многочленом, и приведем подобные члены:

(х³ + 5х² – х + 8) – (х³ – 7х – 1) =  х³ + 5х² – х + 8 – х³ + 7х + 1 =

= х³ – х³ + 5х² – х + 7х + 8 + 1 = 5х² + 6х + 9. 

Произведение многочленов.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

Умножим многочлен a + b на многочлен c + d:

(a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd.

Пример:

(2х + 8)(4х – 2) = 2х · 4х + 8 · 4х + 2х · (-2) + 8 · (-2) = 8х + 32х – 4х – 16 = 36х – 16.