Деление многочлена на многочлен


Условия деления:

1) При делении многочлены следует располагать по убывающим степеням.

2) Степень делимого должна быть больше или равна степени делителя.

3) Деление прекращается, когда степень остатка оказывается меньше степени делителя.

 

Алгоритм деления:

1) Все время производите деление на первый член делителя: первый раз делите на него первый член делимого, а в последующем – первый член остатка (остатков).

2) результаты этих делений первых членов являются частями ответа (решения).

 

Алгоритм деления многочленов рассмотрим на конкретном примере.

Пример: Разделим многочлен 2х4 – х3 + 5х2 – 8x + 1  на многочлен х2 – x + 1:

4 – х3 + 5х2 – 8x + 1
—————————
       х2 – x + 1

 

Решение.

Произведем деление столбиком:

4 – х3 + 5х2 – 8x + 1 | х2x + 1

НО!

Прежде чем приступить к решению, напомним:
4 – х3 + 5х2 – 8x + 1 – это делимое,
х2 – x + 1 – это делитель.

 

Итак:

Шаг 1. Разделим первый член делимого на первый член делителя:

4 – х3 + 5х2 – 8x + 1 | х2x + 1

 

 2х4
——  =  2х4–2  =  2x2
  х2

Мы получили первый член частного: 2x2. Вписываем его в столбик:

4 – х3 + 5х2 – 8x + 1 | х2x + 1
                                      2x2

 

Шаг 2. Умножим полученное частное на делитель, как это обычно и делается при делении столбиком:

2x22 – x + 1) = 2x4 – 2x3 + 2x2

Полученный результат пишем под делимым и производим вычитание. При этом к вычитаемому добавляем нули в соответствующих степенях и значениях, чтобы уменьшаемое и вычитаемое имели одинаковое количество членов (причину поймете во время дальнейших действий):

4  –  х3  + 5х2 – 8x + 1 |  х2x + 1
2x4 – 2x3 + 2x2 + 0x + 0 | 2x2

Теперь произведем это вычитание отдельно, сводя подобные члены. При этом нули опустим (здесь в них нет смысла):

(2х4 – х3 + 5х2 – 8x + 1) – (2x4 – 2x3 + 2x2) = 2х4 – х3 + 5х2 – 8x + 1 – 2x4 + 2x3 – 2x2 =

= x3 + 3x2 – 8x + 1

Мы получили первый остаток, а наш столбик обрел следующий вид:

4 –  х3  + 5х2 – 8x + 1 | х2x + 1
2x4 – 2x3 + 2x2 + 0x + 0 | 2x2
——————————
         x3  + 3x2 – 8x + 1

 

Шаг 3. Делим первый член остатка на первый член делителя и получаем второй член частного:

 x3
—  =  x3–2 = x
 x2
Вписываем его в наш столбик (добавляем к частному) со знаком +, так как х положительное число:

4  –  х3 + 5х2 – 8x + 1  | х2  –  x + 1
2x4 – 2x3 + 2x2 + 0x + 0  | 2x2 + x
——————————
           x3  + 3x2 – 8x + 1

 

Шаг 4. Теперь уже этот второй член частного умножаем на делитель (все по правилам деления в столбик):

x(х2 – x + 1) = x3 – x2 + x

 

К полученному результату добавляем ноль и вписываем его в столбик:

4  –  х3 + 5х2 – 8x + 1  | х2  –  x + 1
2x4 – 2x3 + 2x2 + 0x + 0  | 2x2 + x
——————————
           x3  + 3x2 – 8x + 1
          x3  –  x2  +   x + 0

 

Снова производим вычитание:

(x3 + 3x2 – 8x + 1) – (x3 – x2 + x) = x3 + 3x2 – 8x + 1 – x3 + x2 – x = 4x2 – 9x + 1.

 

Вписываем результат вычитания в столбик:

4 –  х3  + 5х2 – 8x + 1 | х2  –  x + 1
2x4 – 2x3 + 2x2 + 0x + 0 | 2x2 + x
——————————
           x3  + 3x2 – 8x + 1
           x3  –  x2  +  x  + 0
——————————
                  4x2 – 9x  + 1

Мы видим, что и этот остаток не равен нулю, и его степень не меньше степени делителя, а равна ей. Значит, деление продолжается.

 

Шаг 5. Повторяем действие 3, но уже со вторым остатком – делим первый член второго остатка на первый член делителя и получаем третий член частного:

4x2
— = 4
x2

 

Вписываем в столбик:

4  –  х3 + 5х2 – 8x + 1 |   х2x + 1
2x4 – 2x3 + 2x2 + 0x + 0 | 2x2 + x + 4
——————————
           x3  + 3x2 – 8x + 1
           x3  –  x2  +  x  + 0
——————————
                  4x2 – 9x  + 1

 

Шаг 6. Разумеется, повторяем действие 4, но уже с третьим членом частного – умножаем третий член частного на делитель:

4(х2 – x + 1) = 4x2 – 4x + 4

 

Вписываем результат умножения в столбик:

4 –  х3 +  5х2 – 8x + 1 |   х2x + 1 
2x4 – 2x3 + 2x2 + 0x + 0 | 2x2 + x + 4
——————————
           x3  + 3x2 – 8x + 1
           x3  –  x2  +  x  + 0
——————————
                  4x2 – 9x  + 1
                   4x2 – 4x + 4

 

Производим вычитание:

(4x2 – 9x + 1) – (4x2 – 4x + 4) = 4x2 – 9x + 1 – 4x2 + 4x – 4 = –5x – 3.

 

Вписываем результат вычитания в столбик:

4 –  х3  + 5х2 – 8x + 1 |   х2x + 1
2x4 – 2x3 + 2x2 + 0x + 0 | 2x2 + x + 4
——————————
           x3  + 3x2 – 8x + 1
           x3  –  x2  +  x  + 0
——————————
                  4x2 – 9x  + 1
                   4x2 – 4x + 4
——————————
                          –5x – 3

 

Степень этого числа меньше степени делителя – следовательно, процесс деления завершен. У нас получился результат с остатком.

 

Ответ:

  2х4 – х3 + 5х2 – 8x + 1
—————————— = 2x2 + x + 4 (остаток –5x – 3)
          х2 – x + 1

 или

  2х4 – х3 + 5х2 – 8x + 1                                 –5x – 3
——————————  =  2x2 + x + 4 + —————
            х2 – x + 1                                            х2 – x + 1

Пример решен.

Сделать бесплатный сайт с uCoz