Деление многочлена на многочлен

Условия деления:

1) При делении многочлены следует располагать по убывающим степеням.

2) Степень делимого должна быть больше или равна степени делителя.

3) Деление прекращается, когда степень остатка оказывается меньше степени делителя.

Алгоритм деления:

1) Все время производите деление на первый член делителя: первый раз делите на него первый член делимого, а в последующем – первый член остатка (остатков).

2) результаты этих делений первых членов являются частями ответа (решения).

Алгоритм деления многочленов рассмотрим на конкретном примере.

Пример: Разделим многочлен 2х⁴ – х³ + 5х² – 8x + 1  на многочлен х² – x + 1:

2х⁴ – х³ + 5х² – 8x + 1
—————————
       х² – x + 1

Решение.

Произведем деление столбиком:

2х⁴ – х³ + 5х² – 8x + 1 | х² – x + 1

НО!

Прежде чем приступить к решению, напомним:
2х⁴ – х³ + 5х² – 8x + 1 – это делимое,
х² – x + 1 – это делитель.

Итак:

Шаг 1. Разделим первый член делимого на первый член делителя:

2х⁴ – х³ + 5х² – 8x + 1 | х² – x + 1

 2х⁴
——  =  2х^4–2  =  2x²
  х²

Мы получили первый член частного: 2x². Вписываем его в столбик:

2х⁴ – х³ + 5х² – 8x + 1 | х² – x + 1
                                     │ 2x²

Шаг 2. Умножим полученное частное на делитель, как это обычно и делается при делении столбиком:

2x² (х² – x + 1) = 2x⁴ – 2x³ + 2x²

Полученный результат пишем под делимым и производим вычитание. При этом к вычитаемому добавляем нули в соответствующих степенях и значениях, чтобы уменьшаемое и вычитаемое имели одинаковое количество членов (причину поймете во время дальнейших действий):

2х⁴  –  х³  + 5х² – 8x + 1 |  х² – x + 1
2x⁴ – 2x³ + 2x² + 0x + 0 | 2x²

Теперь произведем это вычитание отдельно, сводя подобные члены. При этом нули опустим (здесь в них нет смысла):

(2х⁴ – х³ + 5х² – 8x + 1) – (2x⁴ – 2x³ + 2x²) = 2х⁴ – х³ + 5х² – 8x + 1 – 2x⁴ + 2x³ – 2x² =

= x³ + 3x² – 8x + 1

Мы получили первый остаток, а наш столбик обрел следующий вид:

2х⁴ –  х³  + 5х² – 8x + 1 | х² – x + 1
2x⁴ – 2x³ + 2x² + 0x + 0 | 2x²
——————————
         x³  + 3x² – 8x + 1

Шаг 3. Делим первый член остатка на первый член делителя и получаем второй член частного:

 x³
—  =  x^3–2 = x
 x²
Вписываем его в наш столбик (добавляем к частному) со знаком +, так как х положительное число:

2х⁴  –  х³ + 5х² – 8x + 1  | х²  –  x + 1
2x⁴ – 2x³ + 2x² + 0x + 0  | 2x² + x
——————————
           x³  + 3x² – 8x + 1

Шаг 4. Теперь уже этот второй член частного умножаем на делитель (все по правилам деления в столбик):

x(х² – x + 1) = x³ – x² + x

К полученному результату добавляем ноль и вписываем его в столбик:

2х⁴  –  х³ + 5х² – 8x + 1  | х²  –  x + 1
2x⁴ – 2x³ + 2x² + 0x + 0  | 2x² + x
——————————
           x³  + 3x² – 8x + 1
          x³  –  x²  +   x + 0

Снова производим вычитание:

(x³ + 3x² – 8x + 1) – (x³ – x² + x) = x³ + 3x² – 8x + 1 – x³ + x² – x = 4x² – 9x + 1.

Вписываем результат вычитания в столбик:

2х⁴ –  х³  + 5х² – 8x + 1 | х²  –  x + 1
2x⁴ – 2x³ + 2x² + 0x + 0 | 2x² + x
——————————
           x³  + 3x² – 8x + 1
           x³  –  x²  +  x  + 0
——————————
                  4x² – 9x  + 1

Мы видим, что и этот остаток не равен нулю, и его степень не меньше степени делителя, а равна ей. Значит, деление продолжается.

Шаг 5. Повторяем действие 3, но уже со вторым остатком – делим первый член второго остатка на первый член делителя и получаем третий член частного:

4x²
— = 4
x²

Вписываем в столбик:

2х⁴  –  х³ + 5х² – 8x + 1 |   х² – x + 1
2x⁴ – 2x³ + 2x² + 0x + 0 | 2x² + x + 4
——————————
           x³  + 3x² – 8x + 1
           x³  –  x²  +  x  + 0
——————————
                  4x² – 9x  + 1

Шаг 6. Разумеется, повторяем действие 4, но уже с третьим членом частного – умножаем третий член частного на делитель:

4(х² – x + 1) = 4x² – 4x + 4

Вписываем результат умножения в столбик:

2х⁴ –  х³ +  5х² – 8x + 1 |   х² – x + 1 
2x⁴ – 2x³ + 2x² + 0x + 0 | 2x² + x + 4
——————————
           x³  + 3x² – 8x + 1
           x³  –  x²  +  x  + 0
——————————
                  4x² – 9x  + 1
                   4x² – 4x + 4

Производим вычитание:

(4x² – 9x + 1) – (4x² – 4x + 4) = 4x² – 9x + 1 – 4x² + 4x – 4 = –5x – 3.

Вписываем результат вычитания в столбик:

2х⁴ –  х³  + 5х² – 8x + 1 |   х² – x + 1
2x⁴ – 2x³ + 2x² + 0x + 0 | 2x² + x + 4
——————————
           x³  + 3x² – 8x + 1
           x³  –  x²  +  x  + 0
——————————
                  4x² – 9x  + 1
                   4x² – 4x + 4
——————————
                          –5x – 3

Степень этого числа меньше степени делителя – следовательно, процесс деления завершен. У нас получился результат с остатком.

Ответ:

  2х⁴ – х³ + 5х² – 8x + 1
—————————— = 2x² + x + 4 (остаток –5x – 3)
          х² – x + 1

 или

  2х⁴ – х³ + 5х² – 8x + 1                                 –5x – 3
——————————  =  2x² + x + 4 + —————
            х² – x + 1                                            х² – x + 1

Пример решен.