Внеклассный урок - Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия

Прогрессия – это определенная последовательность чисел.
Последовательность обозначается так: (a_n)

Числа, образующие последовательность, называют членами последовательности.

Члены последовательности обычно обозначают буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена (a₁, a₂, a₃ и т.д.- читается так: «а первое», «а второе», «а третье» и т.д.).

Последовательность может быть бесконечной или конечной.

Понятие арифметической прогрессии.

Арифметическая прогрессия – это такая последовательность чисел, которая получается в результате сложения каждого последующего члена с одним и тем же числом.

Пример:

Возьмем последовательность чисел 3; 10; 17; 24; 31.
Здесь каждое последующее число на 7 больше предыдущего. То есть последовательность получилась в результате прибавления одного и того же числа 7 к каждому последующему члену. Это и есть арифметическая прогрессия:

3+7=10

10+7=17

17+7=24

24+7=31

Формула арифметической прогрессии.

Любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой:

a_n = kn + b,

где k и b – некоторые числа.

И наоборот: если последовательность задана подобной формулой, то эта последовательность точно является арифметической прогрессией.

Пример: формула a_n = 8n – 2 является формулой арифметической прогрессии, так как она задана формулой типа a_n = kn + b. В ней k = 8, b = –2.

Разность арифметической прогрессии.

Разность арифметической прогрессии – это разность между последующим и предыдущим членами прогрессии. Ее обычно обозначают буквой d.

Пример:
Вернемся к нашей прогрессии 3; 10; 17; 24; 31. В ней разность между второй и первой, третьей и второй и т.д. членами равна 7. Число 7 и является разностью данной арифметической прогрессии.

Свойства арифметической прогрессии.

1) Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов.

2) Верно и обратное утверждение: если в последовательности чисел каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов, то эта последовательность является арифметической прогрессией.

В нашем примере второй член равен средней арифметической первого и третьего членов:

3 + 17
——— = 10.
2

Точно так же третий член равен средней арифметической второго и четвертого членов и т.д.

Как найти определенный член арифметической прогрессии.

Чтобы найти n-й член арифметической прогрессии, следует применить формулу:

a_n = a₁ + d(n – 1)

Пример:

Возьмем некую арифметическую прогрессию, в которой первый член равен 3, а разность арифметической прогрессии составляет 4. Надо найти 45-й член этой прогрессии.

Дано:
b₁ = 3
d = 4
n = 45
---------
b₄₅ - ?

Решение.

Применим формулу b_n = b₁ + d(n – 1):

b₄₅ = 3 + 4(45 – 1) = 3 + 4 · 44 = 3 + 176 = 179.

Ответ: 45-й член заданной арифметической прогрессии – число 179.

Как найти сумму первых n членов арифметической прогрессии.

Сумму любого количества первых членов арифметической прогрессии можно найти
с помощью формулы:

                                                                              (a₁ + a_n) n
                                                                       S_n = —————
                                                                                       2

Если заданы первый член и разность арифметической прогрессии, то удобно пользоваться другой формулой:

                                                                             2a₁ + d(n – 1)
                                                                    S_n = —————— n
                                                                                       2

Пример 1: Найдем сумму первых ста членов арифметической прогрессии 1+2+3+4+5 и т.д.+100.

Дано:
a₁ = 1
n = 100
a_n = 100
————
S₁₀₀ - ?

Решение:

(1 + 100) · 100 101 · 100
S₁₀₀ = ——————— = ————— = 5050
2 2

Ответ: Сумма первых ста членов заданной арифметической прогрессии равна 5050.

Пример 2: Найдем сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии, в которой первый член равен 5, разность арифметической прогрессии составляет 3.

Дано:
a₁ = 5
d = 3
————
S₂₀ - ?

Решение:

1) Найдем сначала двадцатый член по уже известной нам формуле a_n = a₁ + d(n – 1):
a₂₀ = 5 + 3 (20 – 1) = 5 + 3 · 19 = 62.

2) Теперь уже легко решить нашу задачу.

По формуле 1:

(5 + 62) · 20
S₂₀ = ——————— = 670
2

По формуле 2:

2 · 5 + 3 · (20 – 1)
S₂₀ = ————————— · 20 = 670
2

Ответ: Сумма первых двадцати членов заданной арифметической прогрессии равна 670.

Сайт создан в системе uCoz