|
Геометрическая прогрессия
Пример геометрической прогрессии: 2, 6, 18, 54, 162. Здесь каждый член после первого в 3 раза больше предыдущего. То есть каждый последующий член является результатом умножения предыдущего члена на 3: 2 · 3 = 6 6 · 3 = 18 18 · 3 = 54 54 · 3 = 162.
Знаменатель геометрической прогрессии.
В нашем примере при делении второго члена на первый, третьего на второй и т.д. мы получаем 3. Число 3 и является знаменателем данной геометрической прогрессии.
Свойства геометрической прогрессии:
Пример: 542 = 2916. Теперь перемножим члены, стоящие слева и справа от числа 54: 18 · 162 = 2916. Как видим, квадрат третьего члена равен произведению соседних второго и четвертого членов.
Как найти определенный член геометрической прогрессии.
Пример 1: Возьмем некую геометрическую прогрессию, в которой первый член равен 2, а знаменатель геометрической прогрессии равен 1,5. Надо найти 4-й член этой прогрессии. Дано: Решение. b4 = 2 · 1,54 – 1 = 2 · 1,53 = 2 · 3,375 = 6,75. Ответ: Четвертый член заданной геометрической прогрессии – число 6,75.
Пример 2: Найдем пятый член геометрической прогрессии, если первый и третий члены равны соответственно 12 и 192. Дано: Решение. 1) Сначала нам надо найти знаменатель геометрической прогрессии, без которой решить задачу невозможно. В качестве первого шага с помощью нашей формулы выводим формулу для b3: b3 = b1 · q3 – 1 = b1 · q2 Теперь мы можем найти знаменатель геометрической прогрессии: b3 192 q = √16 = 4 или –4. 2) Осталось найти значение b5. Если q = 4, то b5 = b1q5-1 = 12 · 44 = 12 · 256 = 3072. При q = –4 результат будет тот же. Таким образом, задача имеет одно решение. Ответ: Пятый член заданной геометрической прогрессии – это число 3072.
Как найти сумму первых n членов геометрической прогрессии.
Пример: Найдем сумму первых пяти членов геометрической прогрессии (bn), в которой первый член равен 2, а знаменатель геометрической прогрессии 3. Дано: b1 = 2 q = 3 n = 5 Решение. Применяем вторую формулу из двух приведенных выше: b1 (q5 – 1) 2 (35 – 1) 2 · (243 – 1) 484 Ответ: Сумма первых пяти членов заданной геометрической прогрессии равна 242.
Сумма бесконечной геометрической прогрессии. Следует различать понятия «сумма бесконечной геометрической прогрессии» и «сумма n членов геометрической прогрессии». Второе понятие относится к любой геометрической прогрессии, а первое – только к такой, где знаменатель меньше 1 по модулю.
Пример-пояснение: Составим геометрическую прогрессию, в которой первый член – число 2, а знаметатель равен 1/2: 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64 и т.д. Сложим все полученные члены прогрессии: 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 = 255/64 ≈ 3,98 ≈ 4. Можно продолжить прогрессию до 10, 100, миллиона членов, но во всех случаях сумма членов прогрессии будет практически равна 4. Число 4 и является суммой данной геометрической прогрессии. Чтобы найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, не надо складывать все ее члены. Для этого существует замечательная и довольно простая формула.
Сумма S геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
Решим наш пример с помощью этой формулы. В нем b1 = 2, q = 1/2. Итак: 2 2
|
|