|
Уравнение с одной переменной. Корень уравнения. Уравнения n-й степени
Уравнение – это равенство, содержащее переменную, обозначенную буквой. Корень уравнения (или решение уравнения) – это такое значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство.
Пример: решим уравнение (то есть найдем корень уравнения): 4x – 15 = x + 15 Итак: Результат: уравнение имеет один корень – число 10. Уравнение может иметь и два, три, четыре и более корней. Например, уравнение (х-4)(х-5)(х-6) = 0 имеет три корня: 4, 5 и 6. Уравнение может вовсе не иметь корней. Например, уравнение х+2=х не имеет корней, т.к. при любом значении х равенство невозможно.
Равносильность уравнений. Два уравнения являются равносильными, если они имеют одинаковые корни либо если оба уравнения не имеют корней. Пример1: Уравнения х + 3 = 5 и 3х – 1 = 5 равносильны, так как в обоих уравнениях х=2. Пример 2: Уравнения х4 + 2 = 1 и х2 + 5 = 0 равносильны, так как оба уравнения не имеют корней.
Целое уравнение с одной переменной Целое уравнение с одной переменной – это уравнение, левая и правая части которого являются целыми выражениями (о целых выражениях см.раздел «Рациональные выражения»). Уравнение с одной переменной может быть записано в виде P(x) = 0, где P(x) – многочлен стандартного вида. Например: В таком уравнении степень многочлена называют степенью уравнения. В нашем примере представлено уравнение второй степени (так как в нем многочлен второй степени).
Уравнение первой степени. Уравнение первой степени можно привести к виду: ax + b = 0, где x – переменная, a и b – некоторые числа, причем a ≠ 0. Отсюда легко вывести значение x: b Это значение x является корнем уравнения. Уравнения первой степени имеют один корень.
Уравнение второй степени. Уравнение второй степени можно привести к виду: ax2 + bx + c = 0, где x – переменная, a, b, c – некоторые числа, причем a ≠ 0. Число корней уравнения второй степени зависит от дискриминанта: - если D > 0, то уравнение имеет два корня; - если D = 0, то уравнение имеет один корень; - если D < 0, то уравнение корней не имеет. Уравнение второй степени может иметь не более двух корней. (о том, что такое дискриминант и как находить корни уравнения, см.разделы «Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант» и «Другой способ решения квадратного уравнения»).
Уравнение третьей степени. Уравнение третьей степени можно привести к виду: ax3 + bx2 + cx + d = 0, где x – переменная, a, b, c, d – некоторые числа, причем a ≠ 0. Уравнение третьей степени может иметь не более трех корней.
Уравнение четвертой степени. Уравнение четвертой степени можно привести к виду: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, где x – переменная, a, b, c, d, e – некоторые числа, причем a ≠ 0. Уравнение третьей степени может иметь не более четырех корней.
Обобщение: 1) уравнение пятой, шестой и т.д. степеней можно легко вывести самостоятельно, следуя приведенной выше схеме; 2) уравнение n-й степени может иметь не более n корней.
Пример 1: Решим уравнение x3 – 8x2 – x + 8 = 0. Мы видим, что это уравнение третьей степени. Значит, у него может быть от нуля до трех корней. x2(x – 8) – (x – 8) = 0. Применим правило разложения многочлена способом группировки его членов. Для этого поставим перед вторыми скобками число 1: x2(x – 8) – 1(x – 8) = 0. Теперь сгруппируем многочлены x2 и –1, являющиеся множителями многочлена x–8. (x – 8)(x2 – 1) = 0. Здесь выражение x2 – 1 можно представить в виде x2 – 12. (x – 8)(x – 1)(x + 1) = 0. Дальше все просто. При x – 8 = 0 всё уравнение тоже равно нулю. x – 8 = 0 x – 1 = 0 x + 1 = 0 Осталось найти корни нашего уравнения: x1 = 0 + 8 = 8 x2 = 0 + 1 = 1 x3 = 0 – 1 = –1. Уравнение решено. Оно имеет три корня: 8, 1 и –1.
Пример 2: Решим уравнение (x2 – 5x + 4)(x2 – 5x +6) = 120. Это уравнение сложнее. Но его можно упростить оригинальным образом – методом введения новой переменной. Тогда наше уравнение обретает более простой вид: (y + 4)(y + 6) = 120. Раскроем скобки: y2 + 4y + 6y + 24 = 120 y2 + 10y + 24 = 120 Приравняем уравнение к нулю: y2 + 10y + 24 – 120 = 0 y2 + 10y – 96 = 0 Мы получили обычное квадратное уравнение. Найдем его корни. Нет необходимости производить расчеты: о том, как решать подобные уравнения, подробно написано в разделах «Квадратные уравнения» и «Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант». Здесь же мы сразу выведем результат. Квадратное уравнение y2 + 10y – 96 = 0 имеет два корня: y1 = -16 y2 = 6 Буквой y мы заменили выражение x2 – 5x. А значит, мы уже можем подставить значения y и найти корни заданного уравнения, тем самым решив задачу: 1) Сначала применяем значение y1 = –16: x2 – 5x = –16 Чтобы решить это уравнение, превращаем его в квадратное уравнение: x2 – 5x + 16 = 0 Решив его, мы обнаружим, что оно не имеет корней. 2) Теперь применяем значение y2 = 6: x2 – 5x = 6 x2 – 5x – 6 = 0 Решив это квадратное уравнение, мы увидим, что у него два корня: x1 = –1 x2 = 6. Уравнение решено. Оно имеет два корня: –1 и 6.
Метод введения новой переменной позволяет легко решать уравнения четвертой степени, которые являются квадратными относительно x2 (такие уравнения называют биквадратными). |
|