Система уравнений второй степени. Способы решения

Система уравнений второй степени – это система уравнений, в которой есть хотя бы одно уравнение второй степени.

Систему из двух уравнений, в которой одно уравнение второй степени, а второе уравнение первой степени, решают следующим образом:

Пример: Решим систему уравнений

│x² – 3xy – 2y² = 2

│x + 2y = 1

Решение:

Следуем правилу:

1) Второе уравнение является уравнением первой степени. В  ней выражаем переменную x через y:

x = 1 – 2y

2) в первом уравнении вместо x подставляем полученное выражение 1 – 2y:

(1 – 2y)² – 3(1 – 2y)y – 2y² = 2.

Раскрываем скобки и упрощаем:

8y² – 7y + 1 = 2.

Приравниваем уравнение к нулю и решаем получившееся квадратное уравнение:

8y² – 7y + 1 – 2 = 0

8y² – 7y – 1 = 0.

3) Решив квадратное уравнение, найдем его корни:

y₁ = – 0,125

y₂ = 1.

4) Осталось найти значения x. Для этого в одно из двух уравнений системы просто подставляем значение y. Второе уравнение проще, поэтому выберем его.
Итак, подставляем значения y в уравнение x + 2y = 1 и получаем:
1) х + 2(-0,125) = 1
    х – 0,25 = 1
    х = 1 + 0,25
    х₁ = 1,25.

2) х + 2 · 1 = 1
    х + 2 =1
    х = 1 – 2
    х₂ = –1.

Ответ:

x₁ = 1,25,   y₁ = – 0,125
x₂ = –1,      y₂ = 1.

Способы решения системы уравнений с двумя уравнениями второй степени.

1. Замена системы уравнений равносильной совокупностью двух систем.

Пример: Решим систему уравнений

│x² – 9y² – x + 3y = 0
│x² – xy + y = 7

Здесь нет уравнений первой степени, поэтому решать их вроде бы сложнее. Но в первом уравнении многочлен можно разложить на линейные множители и применить метод группировки:

x² – 9y² – x + 3y = (x – 3y)(x + 3y) – (x – 3y) = (x – 3y)(x + 3y) – 1(x – 3y) = (x – 3y)(x + 3y – 1).

(Пояснение-напоминание: x – 3y встречается в выражении дважды и является общим множителем в многочлене (x – 3y)(x + 3y) – 1(x – 3y). По правилу группировки, мы умножили его на сумму вторых множителей и получили равносильное уравнение).

В результате наша система уравнений обретает иной вид:

│(x – 3y)(x + 3y – 1) = 0
│x² – xy + y = 7

Первое уравнение равно нулю только в том случае, если x – 3y = 0 или x + 3y – 1 = 0.

Значит, нашу систему уравнений мы можем записать в виде двух систем следующего вида:

│x – 3y = 0
│x² – xy + y = 7

и

│x + 3y – 1 = 0
│x² – xy + y = 7

Мы получили две системы, где первые уравнения являются уравнениями первой степени. Мы уже можем легко решить их. Понятно, что решив их и объединив затем множество решений этих двух систем, мы получим множество решений исходной системы. Говоря иначе, данная система равносильна совокупности двух систем уравнений.

Итак, решаем эти две системы уравнений. Очевидно, что здесь мы применим метод подстановки, подробно изложенный в предыдущем разделе.

Обратимся сначала к первой системе.
В уравнении первой степени выразим х через у:

х = 3у.

Подставим это значение во второе уравнение и преобразим его в квадратное уравнение:

(3у)² – 3у · у + у = 7,

9у² – 3у² + у = 7,

6у² + у = 7,

6у² + у – 7 = 0

Как решается квадратное – см.раздел «Квадратное уравнение». Здесь мы сразу напишем ответ:

                            7
у₁ = 1,    у₂ = – ——.
                           6

Теперь подставим полученные значения у в первое уравнение первой системы и решим его:

1) х – 3 · 1 = 0,

    х₁ = 3.

                      7
2) х – 3 · (– ——) = 0,
                      6

             7
    х + —— = 0,
             2

                 7
    х₂ = – ——
                 2

Итак, у нас есть первые ответы:

х₁ = 3,    у₁ = 1;

              7                     7
х₂ = – ——,   у₂ = – ——.
             2                     6

Переходим ко второй системе. Не будем производить вычисления – их порядок точно такой же, что и в случае с уравнениями первой системы. Поэтому сразу напишем результаты вычислений:

х₃ = –2,   у₃ = 1.

х₄ = –2,5,   у₄ = – 0,5.

Таким образом, исходная система уравнений решена.

Ответ:

       1          1
(–3 — ; –1 — ),  (3; 1),  (2,5; –0,5),  (–2; 1).
       2          6

2. Решение способом сложения.

Пример 2: Решим систему уравнений

│2x² + 3y = xy
│x² – y = 3xy

Решение.

Второе уравнение умножим на 3:

3x² – 3y = 9xy

Зачем мы умножили уравнение на 3? Благодаря этому мы получили равносильное уравнение с числом -3y, которое встречается и в первом уравнении, но с противоположным знаком. Это поможет нам буквально при следующем шаге получить упрощенное уравнение (они будут взаимно сокращены).

Сложим почленно левые и правые части первого уравнения системы и нашего нового уравнения:

2x² + 3y + 3x² – 3y = xy + 9xy

Сводим подобные члены и получаем уравнение следующего вида:

5x² = 10xy

Упростим уравнение еще, для этого сокращаем обе части уравнения на 5 и получаем:

x² = 2xy

Приравняем уравнение к нулю:

x² – 2xy = 0

Это уравнение можно представить в виде x(x – 2y) = 0.

Здесь мы получаем ситуацию, с которой уже сталкивались в предыдущем примере: уравнение верно только в том случае, если x = 0 или x – 2y = 0.

Значит, исходную систему опять-таки можно заменить равносильной ей совокупностью двух систем:

│x = 0
│x² – y = 3xy

и

│x = 2y
│x² – y = 3xy

Обратите внимание: во второй системе уравнение x – 2y = 0 мы преобразовали в x = 2y.

Итак, в первой системе мы уже знаем значение x. Это ноль. То есть x₁ = 0. Легко вычислить и значение y: это тоже ноль. Таким образом, первая система имеет единственное решение: (0; 0).

Решив вторую систему, мы увидим, что она имеет два решения: (0; 0) и (–1; –0,5).

Таким образом, исходная система имеет следующие решения: (0; 0) и (–1; –0,5).

Пример решен.

3. Решение методом подстановки.

Этот метод был применен в начале раздела. Здесь мы выделяем его в качестве одного из способов решения. Приведем еще один пример.

Пример. Решить систему уравнений

│х + у = 9
│у² + х = 29

Решение.

Первое уравнение проще, поэтому выразим в нем х через у:

х = 9 – у.

Теперь произведем подстановку. Подставим это значение х во второе уравнение, получим квадратное уравнение и решим его:

у² + 9 – у = 29
у² – у – 20 = 0

D = b² – 4ас = 1 – 4 · 1 · (–20) = 81

√D = 9

         –b + √D          1 + 9
у₁ = ————  =  ——— = 5
             2a                  2

         –b – √D          1 – 9
у₂ = ————  =  ——— = –4
             2a                  2

Осталось найти значения х. Первое уравнение проще, поэтому им и воспользуемся:

1) х + 5 = 9
    х = 9 – 5
    х₁ = 4

2) х – 4 = 9
    х = 9 + 4
    х₂ = 13

Ответ: (4; 5), (13; –4).