Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант.

  

Формула №1:

         -b ± √D
x
=  ————,  где
D = b2 – 4ac.
             2
a

Латинской буквой D обозначают дискриминант.

Дискриминант - это выражение, от которого зависит число корней данного уравнения.

Если D < 0, то уравнение не имеет корней.

Если D = 0, то уравнение имеет один корень.

Если D > 0, то уравнение имеет два корня.

Пример. Решим уравнение 12x2 + 7x + 1 = 0.

Сначала вычислим дискриминант.

Мы видим, что а = 12, b = 7, c = 1.

Итак:

D = b2 – 4ac = 72 – 4 · 12 · 1 = 49 – 48 = 1.

D > 0. Значит, уравнение имеет корни (причем два корня), а значит, можно вычислять дальше.

Чтобы найти корни, применим формулу корней квадратного уравнения:

         -b ± √D      -7 ± √1         -7 ± 1
x =  ———— = ———— = ————
             2a                24                 24

Находим оба значения x:

        -7 + 1        -6      -1          1
x1 = ——— = —— = — = – —
           24           24       4          4

 

         -7 – 1       -8       -1         1
x2 = ——— = —— = — = – — .
           24           24       3          3

 

                        1                   1
Ответ: x1 = – —,    x2 = – —
                        4                   3

 

Формула №2.

Из формулы №1 можно получить другую формулу, которой удобно пользоваться в случаях, когда второй коэффициент – четное число. В этом случае раскладываем его на множители, один из которых – множитель 2. То есть второй коэффициент представляем в виде 2k, где k – это половина изначально заданного числа. Тогда удобно пользоваться формулой:

      -k ± √D1
x = ———
,   где D1 = k2ac
            
a

Пример. Решим уравнение 5x2 – 16x + 3 = 0.

Записываем -16x в виде 2 · (-8x). Тогда k = -8,  a = 5,  c = 3. Мы уже можем найти дискриминант D1:

D1 = k2ac = (-8)2 – 5 · 3 = 64 – 15 = 49.

Теперь находим оба значения x:

      -k ± √D1       - (-8) ± √49      8 ± 7
x = ———— =  ————— = ———
             a                     5                  5

Отсюда:

          8 + 7       15
x1 = ——— =  — = 3
            5            5

 

         8 – 7         1
x2 = ——— =  — = 0,2
             5           5 

 

Ответ: x1 = 3; x2 = 0,2.

 

При решении квадратного уравнения по данным формулам целесообразно поступать следующим образом:

1) вычислить дискриминант и сравнить его с нулем;

2) если дискриминант положителен или равен нулю, то воспользоваться формулой корней; если дискриминант отрицателен, то записать, что корней нет.

 

Сделать бесплатный сайт с uCoz