Теорема Виета

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

(Напомним: приведенное квадратное уравнение – это уравнение, где первый коэффициент равен 1).

Пояснение:

Пусть квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 имеет корни х₁ и х₂. Тогда по теореме Виета:

Пример 1:

Приведенное уравнение x² – 7x + 10 = 0 имеет корни 2 и 5.

Сумма корней равна 7, а произведение равно 10.

А в нашем уравнении второй коэффициент равен -7, а свободный член 10.

Таким образом, сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней – свободному члену.

Довольно часто встречаются квадратные уравнения, которые можно легко вычислить с помощью теоремы Виета – больше того, с ее помощью их вычислять проще. В этом легко убедиться как на предыдущем примере, так и на следующем.

Пример 2. Решить квадратное уравнение х² – 2х – 24 = 0.

Решение.

Применяем теорему Виета и записываем два тождества:

х₁ · х₂ = –24

х₁ + х₂ = 2

Подбираем такие множители для –24, чтобы их сумма была равна 2. После недолгих размышлений находим: 6 и –4. Проверим:

6 · (– 4) = –24.

6 + (– 4) = 6 – 4 = 2.

Как вы заметили, на практике суть теоремы Виета заключается в том, чтобы в приведенном квадратном уравнении свободный член разложить на такие множители, сумма которых равна второму коэффициенту с противопложным знаком. Эти множители и будут корнями.

Значит, корнями нашего квадратного уравнения являются 6 и –4.

Ответ: х₁ = 6, х₂ = –4.

Пример 3. Решим квадратное уравнение 3х² + 2х – 5 = 0.

Здесь мы имеем дело не с приведенным квадратным уравнением. Но и такие уравнения тоже можно решать с помощью теоремы Виета, если их коэффициенты уравновешены – например, если сумма первого и третьего коэффициентов равна второму с обратным знаком.

Решение.

Коэффициенты уравнения уравновешены: сумма первого и третьего членов равны второму с противоположным знаком:

3 + (–5) = –2.

 В соответствии с теоремой Виета

х₁ + х₂ = –2/3
х₁ · х₂ = –5/3.

Нам надо найти такие два числа, сумма которых равна –2/3, а произведение –5/3. Эти числа и будут корнями уравнения.

Первое число угадывается сразу: это 1. Ведь при х = 1 уравнение превращается в простейшее сложение-вычитание:
3 + 2 – 5 = 0. Как найти второй корень?
Представим 1 в виде 3/3, чтобы все числа имели одинаковый знаменатель: так проще. И сразу напрашиваются дальнейшие действия. Если х₁ = 3/3, то:

3/3 + х₂ = –2/3.

Решаем простое уравнение:

х₂ = –2/3 – 3/3.

х₂ = –5/3.

Ответ: х₁ = 1; х₂ = –5/3

Пример 4: Решить квадратное уравнение 7x² – 6x – 1 = 0.

Решение:

Один корень обнаруживается сразу – он прямо в глаза бросается: х₁ = 1 (потому что получается простая арифметика: 7 – 6 – 1 = 0).

Ищем дальше.

Коэффициенты уравнения уравновешены: сумма первого и третьего равны второму с обратным знаком:
7 + (– 1) = 6.

В соответствии с теоремой Виета составляем два тождества (хотя в данном случае достаточно одного из них):

х₁ · х₂ = –1/7
х₁ + х₂ = 6/7

Подставляем значение х₁ в любое из этих двух выражений и находим х₂:

х₂ = –1/7 : 1 = –1/7

Ответ: х₁ = 1; х₂ = –1/7

Дискриминант приведенного квадратного уравнения.

Дискриминант приведенного квадратного уравнения можно вычислять как общей формуле, так и по упрощенной:

При D = 0 корни приведенного уравнения можно вычислять по формуле:

Если D < 0, то уравнение не имеет корней.

Если D = 0, то уравнение имеет один корень.

Если D > 0, то уравнение имеет два корня.