Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на множители
Квадратным трехчленом называется многочлен вида ax2 + bx + c, где x – переменная, a, b, c – некоторые числа, причем a ≠ 0.
Коэффициент а называют старшим коэффициентом, c – свободным членом квадратного трехчлена.
Примеры квадратных трехчленов:
2x2 + 5x + 4 (здесь a = 2, b = 5, c = 4)
x2 – 7x + 5 (здесь a = 1, b = -7, c = 5)
9x2 + 9x – 9 (здесь a = 9, b = 9, c = -9)
Коэффициент b или коэффициент c либо оба коэффициента одновременно могут быть равны нулю. Например:
5x2 + 3x (здесь a = 5, b = 3, c = 0, поэтому значение c в уравнении отсутствует).
6x2 – 8 (здесь a = 6, b = 0, c = -8)
2x2 (здесь a = 2, b = 0, c = 0)
Значение переменной, при котором многочлен обращается в ноль, называют корнем многочлена.
Чтобы найти корни квадратного трехчлена ax2 + bx + c, надо приравнять его к нулю –
то есть решить квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 (см.раздел "Квадратное уравнение").
Разложение квадратного трехчлена на множители
Трехчлен ax2 + bx + c, имеющий корни x1 и x2, можно разложить на множители a(x – x1)(x – x2). |
Пример:
Разложим на множители трехчлен 2x2 + 7x – 4.
Мы видим: коэффициент а = 2.
Теперь найдем корни трехчлена. Для этого приравняем его к нулю и решим уравнение
2x2 + 7x – 4 = 0.
Как решается такое уравнение – см. в разделе «Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант». Здесь же мы сразу назовем результат вычислений. Наш трехчлен имеет два корня:
x1 = 1/2, x2 = –4.
Подставим в нашу формулу значения корней, вынеся за скобки значение коэффициента а, и получим:
2x2 + 7x – 4 = 2(x – 1/2) (x + 4).
Полученный результат можно записать иначе, умножив коэффициент 2 на двучлен x – 1/2:
2x2 + 7x – 4 = (2x – 1) (x + 4).
Задача решена: трехчлен разложен на множители.
Такое разложение можно получить для любого квадратного трехчлена, имеющего корни.
ВНИМАНИЕ!
Если дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, то этот трехчлен имеет один корень, но при разложении трехчлена этот корень принимают как значение двух корней – то есть как одинаковое значение x1 и x2.
К примеру, трехчлен имеет один корень, равный 3. Тогда x1 = 3, x2 = 3.