|
Модуль числаМодулем числа называется само это число, если оно неотрицательное, или это же число с противоположным знаком, если оно отрицательное. Например, модулем числа 5 является 5, модулем числа –5 тоже является 5. То есть под модулем числа понимается абсолютная величина, абсолютное значение этого числа без учета его знака. Обозначается так: |5|, |х|, |а| и т.д. Правило:
Пояснение: |5| = 5 |–5| = –(–5) = 5 |0| = 0
Свойства модуля:
Геометрический смысл модуля. Модуль числа – это величина расстояния от нуля до этого числа. Для примера возьмем снова число 5. Расстояние от 0 до 5 такое же, что и от 0 до –5 (рис.1). И когда нам важно знать только длину отрезка, то знак не имеет не только значения, но и смысла. Впрочем, не совсем верно: расстояние мы измеряем только положительными числами – или неотрицательными числами. Пусть цена деления нашей шкалы составляет 1 см. Тогда длина отрезка от нуля до 5 равна 5 см, от нуля до –5 тоже 5 см. На практике часто расстояние отмеряется не только от нуля – точкой отсчета может быть любое число (рис.2). Но суть от этого не меняется. Запись вида |a – b| выражает расстояние между точками а и b на числовой прямой.
Пример 1. Решить уравнение |х – 1| = 3. Решение. Смысл уравнения в том, что расстояние между точками х и 1 равно 3 (рис.2). Поэтому от точки 1 отсчитываем три деления влево и три деления вправо – и наглядно видим оба значения х: Можем и вычислить. │х – 1 = 3 ↕ │х = 3 + 1 ↕ │х = 4 Ответ: х1 = –2; х2 = 4.
Пример 2. Найти модуль выражения: 3√5 – 10. Решение. Сначала выясним, является ли выражение положительным или отрицательным. Для этого преобразуем выражение так, чтобы оно состояло из однородных чисел. Не будем искать корень из 5 – это довольно сложно. Поступим проще: возведем в корень 3 и 10. Затем сравним величину чисел, составляющих разность: 3 = √9. Следовательно, 3√5 = √9 · √5 = √45 10 = √100. Мы видим, что первое число меньше второго. Значит, выражение отрицательное, то есть его ответ меньше нуля: 3√5 – 10 < 0. Но согласно правилу, модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. У нас отрицательное выражение. Следовательно, надо поменять его знак на противоположный. Выражением, противоположным 3√5 – 10, является –(3√5 – 10). Раскроем в нем скобки – и получим ответ: –(3√5 – 10) = –3√5 + 10 = 10 – 3√5. Ответ: |3√5 – 10| = 10 – 3√5.
|
|