Модуль числа


Модулем числа называется само это число, если оно неотрицательное, или это же число с противоположным знаком, если оно отрицательное.

Например, модулем числа 5 является 5, модулем числа –5 тоже является 5.

То есть под модулем числа понимается абсолютная величина, абсолютное значение этого числа без учета его знака.

Обозначается так: |5|, |х|, |а| и т.д.

Правило:

                                                                     |а| = а, если а ≥ 0.

                                                                     |а| = –а, если а < 0.

 

Пояснение:

|5| = 5
Читается так: модулем числа 5 является 5.

|–5| = –(–5) = 5
Читается так: модулем числа –5 является 5.

|0| = 0
Читается так: модулем нуля является ноль.

 

Свойства модуля:

1) Модуль числа есть неотрицательное число:

|а| ≥ 0

2) Модули противоположных чисел равны:

|а| = |–а|

3) Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа:

|а|2 = a2

4) Модуль произведения чисел равен произведению модулей этих чисел:

|а · b| = |а| · |b|

6) Модуль частного чисел равен отношению модулей этих чисел:

|а : b| = |а| : |b|

7) Модуль суммы чисел меньше или равен сумме их модулей:

|а + b| ≤ |а| + |b|

8) Модуль разности чисел меньше или равен сумме их модулей:

|аb| ≤ |а| + |b|

9) Модуль суммы/разности чисел больше или равен модулю разности их модулей:

|а ± b| ≥ ||а| – |b||

10) Постоянный положительный множитель можно вынести за знак модуля:

|m · a| = m · |а|, m >0

11) Степень числа можно вынести за знак модуля:

|аk| = |а|k, если аk существует

12) Если |а| = |b|, то a = ± b

 

Геометрический смысл модуля.

Модуль числа – это величина расстояния от нуля до этого числа.

Для примера возьмем снова число 5. Расстояние от 0 до 5 такое же, что и от 0 до –5 (рис.1). И когда нам важно знать только длину отрезка, то знак не имеет не только значения, но и смысла. Впрочем, не совсем верно: расстояние мы измеряем только положительными числами – или неотрицательными числами. Пусть цена деления нашей шкалы составляет 1 см. Тогда длина отрезка от нуля до 5 равна 5 см, от нуля до –5 тоже 5 см.

На практике часто расстояние отмеряется не только от нуля – точкой отсчета может быть любое число (рис.2). Но суть от этого не меняется. Запись вида |a – b| выражает расстояние между точками а и b на числовой прямой.

 

Пример 1. Решить уравнение |х – 1| = 3.

Решение.

Смысл уравнения в том, что расстояние между точками х и 1 равно 3 (рис.2). Поэтому от точки 1 отсчитываем три деления влево и три деления вправо – и наглядно видим оба значения х:
х1 = –2, х2 = 4.

Можем и вычислить.

х – 1 = 3
х – 1 = –3

х = 3 + 1
х = –3 + 1

х = 4
х = –2.

Ответ: х1 = –2; х2 = 4.

 

Пример 2. Найти модуль выражения:

3√5 – 10.

Решение.

Сначала выясним, является ли выражение положительным или отрицательным. Для этого преобразуем выражение так, чтобы оно состояло из однородных чисел. Не будем искать корень из 5 – это довольно сложно. Поступим проще: возведем в корень 3 и 10. Затем сравним величину чисел, составляющих разность:

3 = √9. Следовательно, 3√5 = √9 · √5 = √45

10 = √100.

Мы видим, что первое число меньше второго. Значит, выражение отрицательное, то есть его ответ меньше нуля:

3√5 – 10 < 0.

Но согласно правилу, модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. У нас отрицательное выражение. Следовательно, надо поменять его знак на противоположный. Выражением, противоположным 3√5 – 10, является –(3√5 – 10). Раскроем в нем скобки – и получим ответ:

–(3√5 – 10) = –3√5 + 10 = 10 – 3√5.

Ответ:

|3√5 – 10| = 10 – 3√5.

 

Сделать бесплатный сайт с uCoz