|
Уравнения и неравенства с модулемМодулем числа называется само это число, если оно неотрицательное, или это же число с противоположным знаком, если оно отрицательное. Например, модулем числа 6 является 6, модулем числа –6 тоже является 6. То есть под модулем числа понимается абсолютная величина, абсолютное значение этого числа без учета его знака. Обозначается так: |6|, |х|, |а| и т.д. (Подробнее – в разделе «Модуль числа»).
Уравнения с модулем. Пример 1. Решить уравнение |10х – 5| = 15. Решение. В соответствии с правилом, уравнение равносильно совокупности двух уравнений: │10х – 5 = 15 Решаем: │10х = 15 + 5 = 20 ↕ │х = 20 : 10 ↕ │х = 2 Ответ: х1 = 2, х2 = –1. Пример 2. Решить уравнение |2х + 1| = х + 2. Решение. Поскольку модуль – число неотрицательное, то х + 2 ≥ 0. Соответственно: х ≥ –2. Составляем два уравнения: │2х + 1 = х + 2 Решаем: │2х + 1 = х + 2 ↕ │2х – х = 2 – 1 ↕ │х = 1 Оба числа больше –2. Значит, оба являются корнями уравнения. Ответ: х1 = –1, х2 = 1.
Пример 3. Решить уравнение |х + 3| – 1 Решение. Уравнение имеет смысл, если знаменатель не равен нулю – значит, если х ≠ 1. Учтем это условие. Наше первое действие простое – не просто освобождаемся от дроби, а преобразуем ее так, чтобы получить подмодульное выражение в чистом виде: |х + 3| – 1 = 4 · (х – 1), |х + 3| – 1 = 4х – 4, |х + 3| = 4х – 4 + 1, |х + 3| = 4х – 3. Теперь у нас в левой части уравнения только выражение под модулем. Идем дальше. Модуль числа есть неотрицательное число – то есть он должен быть больше нуля или равен нулю. Соответственно, решаем неравенство: 4х – 3 ≥ 0 4х ≥ 3 х ≥ 3/4 Таким образом, у нас появилось второе условие: корень или корни уравнения должны быть не меньше 3/4. В соответствии с правилом модуля составляем совокупность двух уравнений и решаем их: │х + 3 = 4х – 3 ↕ │ х + 3 = 4х – 3 ↕ │х – 4х = –3 – 3 ↕ │х = 2 Мы получили два ответа. Проверим, являются ли они корнями исходного уравнения. У нас было два условия: корень уравнения должен быть не меньше 3/4, но не может быть равен 1. То есть х ≠ 1, х ≥ 3/4. Обоим этим условиям соответствует только один из двух полученных ответов – число 2. Значит, только оно и является корнем исходного уравнения. Ответ: х = 2.
Неравенства с модулем. Пример 1. Решить неравенство: |х - 3| < 4 Решение. Правило модуля гласит: |а| = а, если а ≥ 0. Модуль может иметь и неотрицательное, и отрицательное число. Значит, мы должны рассмотреть оба случая: 1) При х – 3 ≥ 0 наше исходное неравенство остается как есть, только без знака модуля: х – 3 < 4. 2) При х – 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением: –(х – 3) < 4. Раскрыв скобки, получаем: –х + 3 < 4. Таким образом, от этих двух условий мы пришли к объединению двух систем неравенств: │ х – 3 ≥ 0 и │ х – 3 < 0 Решим их: │х ≥ 3 и │х < 3 Итак, у нас в ответе объединение двух множеств: 3 ≤ х < 7 U –1 < х < 3. Определяем наименьшее и наибольшее значения. Это –1 и 7. При этом х больше –1, но меньше 7. Кроме того, х ≥ 3. Значит, решением неравенства является все множество чисел от –1 до 7, исключая эти крайние числа. Ответ: –1 < х < 7. Или: х ∈ (–1; 7).
Дополнения. 1) Есть более простой и короткий способ решения нашего неравенства - графический. Для этого надо нарисовать горизонтальную ось (рис.1).
Выражение |х - 3| < 4 означает, что расстояние от точки х до точки 3 меньше четырех единиц. Отмечаем на оси число 3 и отсчитываем влево и вправо от от него 4 деления. Слева мы придем к точке -1, справа – к точке 7. Таким образом, точки х мы просто увидели, не вычисляя их. При этом, согласно условию неравенства, сами -1 и 7 не включены во множество решений. Таким образом, получаем ответ: –1 < х < 7.
2) Но есть еще одно решение, которое проще даже графического способа. Для этого наше неравенство надо представить в следующем виде: –4 < х – 3 < 4. Ведь так оно и есть по правилу модуля. Неотрицательное число 4 и аналогичное отрицательное число –4 являются границами решения неравенства. Далее мы просто переносим влево и вправо число –3 с обратным знаком, оставляя х в одиночестве: –4 + 3 < х < 4 + 3 –1 < х < 7.
Пример 2. Решить неравенство |х – 2| ≥ 5 Решение. Этот пример существенно отличается от предыдущего. Левая часть больше 5 либо равна 5. С геометрической точки зрения, решением неравенства являются все числа, которые от точки 2 отстоят на расстоянии 5 единиц и больше (рис.2). По графику видно, что это все числа, которые меньше или равны –3 и больше или равны 7. А значит, мы уже получили ответ. Ответ: –3 ≥ х ≥ 7. Попутно решим это же неравенство способом перестановки свободного члена влево и вправо с противоположным знаком: –5 ≥ х – 2 ≥ 5 –5 + 2 ≥ х ≥ 5 + 2 Ответ тот же: –3 ≥ х ≥ 7. Или: х ∈ [–3; 7] Пример решен.
Пример 3. Решить неравенство: 6х2 – |х| – 2 ≤ 0 Решение. Число х может быть и положительным числом, и отрицательным, и нулем. Поэтому нам надо учесть все три обстоятельства. Как вы знаете, они учитываются в двух неравенствах: х ≥ 0 и х < 0. При х ≥ 0 мы просто переписываем наше исходное неравенство как есть, только без знака модуля: 6х2 – х – 2 ≤ 0. Теперь о втором случае: если х < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля: 6х2 – (–х) – 2 ≤ 0. Раскрываем скобки: 6х2 + х – 2 ≤ 0. Таким образом, мы получили две системы уравнений: │6х2 – х – 2 ≤ 0 и │6х2 + х – 2 ≤ 0 Надо решить неравенства в системах – а это значит, надо найти корни двух квадратных уравнений. Для этого приравняем левые части неравенств к нулю. Начнем с первого: 6х2 – х – 2 = 0. Как решается квадратное уравнение – см. раздел «Квадратное уравнение». Мы же сразу назовем ответ: х1 = –1/2, х2 = 2/3. Из первой системы неравенств мы получаем, что решением исходного неравенства является все множество чисел от –1/2 до 2/3. Пишем объединение решений при х ≥ 0: Теперь решим второе квадратное уравнение: 6х2 + х – 2 = 0. Его корни: х1 = –2/3, х2 = 1/2. Вывод: при х < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от –2/3 до 1/2. Объединим два ответа и получим итоговый ответ: решением является все множество чисел от –2/3 до 2/3, включая и эти крайние числа. Ответ: –2/3 ≤ х ≤ 2/3. Или: х ∈ [–2/3; 2/3]. |
|