Неравенство с одной переменной
Основные понятия
Решением неравенства с одной переменной называется такое значение переменной, при котором получается верное числовое неравенство.
Два неравенства с одной переменной называют равносильными, если решения этих неравенств совпадают. Если оба неравенства не имеют решения, то это тоже равносильные неравенства.
Замена одного неравенства равносильным ему другим неравенством называется равносильным переходом от одного неравенства к другому.
При решении неравенств обычно заменяют данное неравенство другим, более простым, но равносильным данному. Полученное неравенство снова заменяют более простым, равносильным данному неравенству и т.д.
Два неравенства a > b и c > d называются неравенствами одинакового смысла,
а вида a > d и c < d называются неравенствами противоположного смысла.
Линейное неравенство – это неравенство вида ax > b (либо ax < b, ax ≥ b, ax ≤ b).
Теоремы:
1 | Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится неравенство, равносильное данному: если x > y, то x – y > 0 |
2 | Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится неравенство, равносильное данному: если x > y, то a · x > a · y, при a > 0 |
3 | Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному: если x > y, то –a · x < –a · y, при a > 0 |
4 | Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же выражение, принимающее при всех значениях переменной положительные значения, то получится неравенство, равносильное данному |
5 | Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же выражение, принимающее при всех значениях переменной отрицательные значения, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному |
