Рациональные неравенства с одной переменной. Метод интервалов.


Рациональные неравенства с одной переменной – это неравенства вида f(x) > 0, f(x) < 0, f(x) ≥ 0, f(x) ≤ 0,
где f(x) – рациональное выражение.

Рациональные неравенства удобно решать методом интервалов.

Алгоритм решения рациональных неравенств методом интервалов:

1) Представить левую часть неравенства в виде функции у = f(x).

2) Найти область определения функции (при которой эта функция имеет смысл).

3) Найти корни функции (нули функции).

4) Определить интервалы знакопостоянства.

5) Определить знак функции на каждом интервале.

6) Выписать значения х, при которых неравенство верно.


Пример
. Решить неравенство (х + 3) (х – 1) < 0.

Решение.

Следуем алгоритму.

1) Вводим функцию для левой части:

у = (х + 3) (х – 1).

2) Областью определения функции является все множество Х (Х ∈ R)

3) Вычисляем корни функции. То есть находим такие значения х,
при которых у = 0. Для этого каждый множитель приравниваем к нулю и вычисляем их корни:

х + 3 = 0;

х – 1 = 0.

Отсюда:

х = –3; х = 1.

4) Выделяем интервалы знакопостоянства. Для этого на оси х отмечаем наши точки (рис.1). У нас получилось три интервала:

(-∞; -3), (-3; 1), (1; +∞)

5) Чтобы определить знаки функции в каждом интервале, составим таблицу значений х (см.таблицу, рис.3):

  

Пояснения:

Числа –3 и 1 мы выписали в отдельный столбик, потому что они тоже являются значениями х, и их тоже надо учитывать. В интервалах они не учтены, потому что, напомним правило, интервал не включает в себя конечные точки.

Первый множитель х + 3 равен нулю при х = –3. Поэтому под –3 в строке множителя М1 пишем 0. Естественно, слева от нуля значения х отрицательные, справа от нуля – положительные. Вписываем эти знаки.

Второй множитель х – 1 равен нулю при х = 1. Поэтому под 1 в строке множителя М2 пишем 0. Слева от 0 пишем знаки минус, справа – знак плюс.

В строке у = М1 · М2 подводим итоги по знакам.

Под интервалом (–∞;–3) у нас два знака минус. А произведение двух минусов дает плюс.
Следовательно, под этим интервалом в строке у = М1 · М2 пишем +. Это значит, что в интервале (–∞;–3) функция положительна. Отмечаем это и на графике.

Под –3 у нас один из множителей равен нулю. А произведение двух чисел, из которых одно равно нулю, есть ноль. Значит, функция равна нулю. Пишем 0.

Под интервалом (–3; 1) у нас плюс и минус. Произведение минуса и плюса дает минус. Следовательно, пишем минус. Это значит, что в интервале (–3; 1) функция у = М1 · М2 отрицательна. Отмечаем это и на графике.

Под 1 у нас один из множителей равен нулю – значит, и вся функция опять равна нулю. Пишем 0.

И наконец, в интервале (1; +∞) у нас оба множителя дают положительные значения – значит, функция положительная. Пишем + в таблице и на графике.

Теперь мы легко можем нарисовать и примерный вид графика. Это кривая, пересекающаяся с осью х в точках -3 и 1 (рис.2).

6) Но главное, мы, наконец, можем уже определить значения х, при которых функция меньше нуля. Мы видим, что в интервале (–3; 1) произведением двух множителей являются отрицательные числа – то есть числа, которые меньше нуля. Значит, числа, входяшие в этот интервал, и являются решением нашего неравенства.

Ответ: (х + 3) (х – 1) < 0 при х ∈ (–3; 1).

 

Есть еще один способ выяснения знака функции - метод пробной точки.

Принцип прост: достаточно в каждом интервале вычислить значение лишь одной любой точки – знак этого числа и окажется знаком всего интервала.

Порядок таков. В каждом интервале произвольно выбираем любую точку и вычисляем ее значение. Например, в нашем примере в первом интервале выбираем точку –4. Подставляем это число вместо х и выясняем знак:

у(–4) = (–4 + 3)( –4 – 1) > 0.

Важный вывод: это значит, что не только в точке –4, но и во всех точках интервала (–∞;–3) функция положительна. Можете это проверить, подставив несколько других значений х из интервала (–∞;–3): все значения функции будут положительные.

Точно так же вычисляем знаки функции в двух других интервалах.

Ответ будет тот же: х ∈ (–3; 1).

 

ПРИМЕЧАНИЕ:

Если бы было задано неравенство (х + 3) (х – 1) > 0, то ответом было бы объединение двух множеств:

х ∈ (–∞;–3) U (1; +∞).

Если бы было задано неравенство (х + 3) (х – 1) ≤ 0, то ответ получился бы таким:

х ∈ (–∞;–3] U х = –3; 1.

Сделать бесплатный сайт с uCoz