Показательные уравнения и неравенства

 

Показательное уравнение.

Показательное уравнение – это уравнение вида af(x) = ad(x), где а – положительное число, отличное от 1.

Уравнения, сводящиеся к этому виду, тоже считаются показательными.

 


Показательное уравнение af(x) = ad(x) равносильно уравнению f(x) = d(x).

 

Пример:

Решим уравнение 22х – 4 = 64.

Решение.

Представим 64 в виде 26. Тогда:

22х – 4 = 26.

Мы получили одинаковое значение основания в левой и правой частях уравнения (число 2). Значит, можем убрать основания, получив равносильное уравнение, и решить его:

2х – 4 = 6

2х = 6 + 4 = 10

х = 10 : 2

х = 5.

 

Показательное неравенство.

Показательное неравенство – это неравенство вида af(x) > ad(x), где а – положительное число, отличное от 1.

Неравенства, сводящиеся к этому виду, тоже считаются показательными.

 

Если a > 1, то показательное неравенство равносильно неравенству того же смысла:
af(x) > ad(x) = f(x) > g(x).

Если 0 < a < 1, то показательное неравенство равносильно неравенству противоположного смысла:
af(x) > ad(x) = f(x) < g(x).

 

Пример 1:

Решим неравенство 3х + 2 > 81

Решение:

Представим 81 в виде 34. Тогда:

3х + 2 < 34.

Теперь в обеих частях неравенства одинаковое основание 3. Оно больше 1. Значит, заменяем неравенство равносильным неравенством того же смысла и решаем его:

х + 2 < 4

х < 4:2

х < 2.

 

Пример 2:

Решим неравенство 0,5х – 3 < 0,25.

Решение:

Представим 0,25 в виде 0,52. Тогда:

0,5х – 3 < 0,52.

Теперь у нас одинаковое основание в обеих частях неравенства: 0,5. Это число меньше 1. Значит, заменяем неравенство на равносильное неравенство с противоположным смыслом и решаем его:

х – 3 > 2

х > 2 + 3

x > 5.

Сделать бесплатный сайт с uCoz