Способы решения выражений

Решение с применением формул сокращенного умножения.

Пример: Выполните умножение:

   x³ + 8        x² – 4x + 4
(———) · ( —————)
   x – 2          x² – 2x + 4)

Решение.

Здесь нам не обойтись без формул сокращенного умножения. Для этого:

1) x³ + 8 представляем в другом виде: x³ + 2³

2) второй числитель преобразуем следующим образом: x² – 4x + 4 = (x – 2)( x – 2).

Тогда получаем тождественное выражение, в котором уже можем произвести сокращения:

x³ + 2³        (x – 2)(x – 2)
——— ·  ——————
  x – 2          x² – 2x + 4

Наше выражение обрело другой вид:

 (x³ + 2³) (x – 2)
———————
     x² – 2x + 4

Преобразуем выражение x³ + 2³, применив к нему формулу сокращенного умножения:

x³ + 2³ = (x + 2) (x² – 2x + 4)

Применим это выражение и произведем новое сокращение, которое приведет нас к окончательному решению:

(x + 2) (x² – 2x + 4) (x – 2)
——————————— = (x + 2) (x – 2) = x² – 4.
            x² – 2x + 4

Ответ: x² – 4

Решение способом группировки:

Пример: Выполните деление:

b³ + 3b² + 3b + 1        1
——————— : (—— + 1)
            b                      b

Решение.

Сначала приведем к одночлену делитель:

 1               1      1        b + 1
— + 1  =  — + —  =  ——
 b               b     1           b

Теперь произведем деление. Для этого перевернем делитель и умножим его на делимое. Произведем сокращение и получим новый вид нашего выражения:

b³ + 3b² + 3b + 1     b + 1      b³ + 3b² + 3b + 1       b           b³ + 3b² + 3b + 1
——————— : ——— =  ——————— · ———  =  ———————
            b                      b                       b                  b + 1               b + 1

Применим метод группировки. Поскольку число 1 в любой степени равно 1, то можем написать его в третьей степени и произвести следующую группировку:

 (b³ + 1³) + (3b² + 3b)
—————————
            b + 1

Разложим b³ + 1³ по формуле сокращенного умножения, а в выражении 3b² + 3b найдем общий множитель и вынесем его за скобку:

(b³ + 1³) + (3b² + 3b)         (b + 1) (b² – b + 1) + 3b(b + 1)
—————————  =  —————————————
            b + 1                                       b + 1

Выражения 3b и (b² – 2b + 1) получили общий множитель: b + 1. Значит, можем их сгруппировать:

(b² – b + 1 + 3b) (b + 1)       (b² + 2b + 1) (b + 1)
——————————  =  ————————
             b + 1                                   b + 1

Сокращаем множитель b + 1 и аналогичный знаменатель и получаем ответ:

(b² + 2b + 1) (b + 1)
———————— = b² + 2b + 1 = (b + 1)²
            b + 1

Ответ: (b + 1)²

Решение методом введения новой переменной.

Пример: Решите уравнение    (x² – 6x)² + 2(x – 3)² = 81.

Решение.

Первым делом напрашивается мысль разложить выражения в левой части по формуле сокращенного умножения. Но на самом деле целесообразно разложить только одно из двух выражений – а именно второе. Так мы и поступим:

2(х – 3)² = 2(х² – 6х + 9)

Таким образом, наше уравнение обретает следующий вид:

(x² – 6x)² + 2(х² – 6х + 9) = 81.

Мы видим, что в уравнении дважды встречается выражение x² – 6x. Значит, можем применить метод введения новой переменной. Заменим это выражение переменной у, затем раскроем скобки:

у² + 2(у +9) = 81

у² + 2у + 18 = 81

Число 81 перенесем в левую часть уравнения и приравняем уравнение к нулю. Тогда мы получим обычное квадратное уравнение:

у² + 2у – 63 = 0

Решим его. Для этого сначала пишем себе коэффициенты уравнения:

а = 1, b = 2, c = -63.

Находим дискриминант:

D = b² – 4ac = 4 – 4 · 1 · (-63) = 256

Находим корень из дискриминанта:

√256 = 16

Теперь находим значения у:

         - b + √D           -2 + 16
у₁ = ————— = ———— = 7
              2а                   2

         - b – √D           -2 – 16
у₂ = ————— = ———— = -9
             2а                    2

Переменной у мы заменяли выражение x² – 6x. А значит, мы уже можем найти значения х – и тем самым решить наш пример.

Итак, если x² – 6x = у, то:

x² – 6x = 7

x² – 6x = -9

Снова приравняем эти уравнения к нулю – и снова получим квадратные уравнения:

x² – 6x – 7 = 0

x² – 6x + 9 = 0.

Решив их, мы обнаружим, что наше исходное уравнение имеет три корня: -1; 3 и 7. Пример решен.

Ответ: -1; 3; 7

Решение с помощью формулы xⁿ – 1 = (x – 1) (x^n-1 + x^n-2+ … + x + 1).

Пример: Выполните вычитание:

(x⁵ – 1)

Решение:

(x⁵ – 1) = (x – 1) (x⁴ + x³ + x² + x + 1).