|
Логарифмические уравнения и неравенства
Логарифмическое уравнение. Определение:
Правило:
Пояснение: В процессе решения логарифмического уравнения loga b(x) = loga c(x) надо просто убрать значки логарифмов и решить получившееся упрощенное уравнение b(x) = c(x).
Важно знать: 1) Если в уравнении разные основания, то логарифмы убирать нельзя. В левой и правой частях уравнения должны быть одинаковые основания. Возьмем для примера уравнение: log5 (3x – 8) = log5 (x + 2). Здесь слева и справа одинаковое основание 5. Значит, можно убрать значки логарифмов и привести уравнение к более простому и понятному виду: 3x – 8 = х + 2. Если основания неодинаковы, необходимо преобразовать одно из выражений так, чтобы основания стали одинаковыми – и только после этого уравнение можно потенцировать.
2) Даже если основания слева и справа одинаковые, но в уравнении есть коэффициент, то в этом случае тоже убирать логарифмы нельзя. К примеру, нельзя потенцировать уравнение такого типа: 3log2 b = log2 25b. Мешает коэффициент 3 в левой части. Поэтому уравнение надо преобразовать так, чтобы коэффициент исчез. В нашем уравнении, применив одно из свойств логарифмов loga bn = n · loga b, мы можем преобразовать выражение слева: 3log2 b = log2 b3. Тогда наше уравнение обретает другой вид: log2 b3 = log2 25b. Теперь мы имеем одинаковые основания (число 2), и уравнение без коэффициентов. Значит, уже легко можем убрать значки логарифмов: b3 = 25b. И такое уравнение решать намного проще: b3 : b = 25 b3 – 1 = 25 b2 = 25 b = √25 = 5
3) Даже при одинаковых основаниях и отсутствии коэффициентов нельзя потенцировать уравнение, если в какой-то из его частей больше одного логарифма. Например, нельзя убирать логарифмы в уравнении log2 x + log2 (x + 1) = log2 (х + 9). В левой части два логарифма. Надо сначала преобразовать ее. Для этого воспользуемся еще одним правилом: сумма логарифмов равна логарифму произведения. Итак, преобразовываем левую часть уравнения: log2 x + log2 (x + 1) = log2 x (х + 1) = log2 x2 + х. У нас получилось выражение с одним логарифмом. А наше уравнение принимает новый вид: log2 x2 + х = log2 (х + 9). И мы уже можем убрать значки логарифмов: x2 + х = х + 9 Решаем это простое уравнение: х2 + х – х = 9 х2 = 9 х = √9 = 3.
Пример. Решим уравнение log3 (x2 – 3x – 5) = log3 (7 – 2x). Решение. 1) Поскольку основания в левой и правой частях одинаковые (равны 3), то мы можем освободиться от знаков логарифмов и прийти к уравнению вида b(x) = c(x): x2 – 3x – 5 = 7 – 2x 2) Приравниваем уравнение к нулю и получаем квадратное уравнение: x2 – 3x – 5 – 7 + 2x = 0 x2 – x – 12 = 0 Решив квадратное уравнение, находим его корни: x1 = 4, x2 = –3. 3) Проверим, при каком из двух значений х уравнение имеет смысл. Мы уже знаем, что логарифмическое уравнение равносильно уравнению b(x) = c(x) только в том случае, если b(x) > 0 и c(x) > 0. Следовательно, выводим два неравенства: x2 – 3x – 5 > 0, 7 – 2x > 0. При х = 4 неравенства неверны. Значит, 4 не является решением уравнения. При х = –3 неравенства верны. Значит, 3 является единственным решением уравнения.
Логарифмическое неравенство. Определение:
Правило:
Для решения логарифмических неравенств loga b(x) > loga c(x) обычно применяют систему неравенств следующего вида:
Пример. Решим неравенство log3 (2x – 4) > log3 (14 – x). Решение. 1) В основании обеих частей уравнения – одно и то же число 3. Значит, можем убрать значки логарифмов. Поскольку 3 больше 1, то, следуя правилу, составляем следующую систему неравенств: │ 2x – 4 > 0 Решаем неравенства и получаем: │x > 2 Мы видим, что х больше не только двух, но и больше шести. Значит, неравенство x > 2 мы уже в расчет не берем: если х больше 6, то естественно и больше 2. Таким образом, для нас важны только два других неравенства, согласно которым х больше 6, но меньше 14. Это и есть ответ: 6 < x < 14. |
|