Комплексные числа
Комплексные числа – это расширение множества действительных чисел. Это числа вида
z = a + bi,
где a и b – действительные числа, i – мнимое число.
Мнимое число – это число, квадрат которого равен -1:
i2 = -1
Алгебраические действия с комплексными числами
Сложение:
Формула | Пример |
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i | (2 + 3i) + (3 – i) = (2 + 3) + (3 – 1)i = 5 + 2i |
Вычитание:
Формула | Пример |
(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i | (2 + 3i) – (3 – i) = -1 + 4i |
Умножение:
Формула | Пример |
(a + bi) (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i | (2 – 3i) (1 + i) = 2 + 2i – 3i – 3i2 = (2 + 3) + (2 – 3)i = 5 - i |
Деление:
Формула | Пример |
a + bi ac + bd bc - ad
——— = ——— + ——— i
c + di c2 + d2 c2 + d2 при c2 + d2 ≠ 0 | 2 + i 2 · 1 + 1 · 1 1 – 2 3 1
——— = ————— + ——— i = — – — i
1 + i 1 + 1 1 + 1 2 2 |
Равенство комплексных чисел:
a + bi = c + di
при a = c, b = d
Тригонометрическая форма комплексного числа:
z = r (cos φ + i sin φ)
Модуль комплексного числа:
̣
r = √a2 + b2
Аргумент комплексного числа:
a b
cos φ = —, sin φ = —
r r
Тригонометрические действия с комплексными числами
Действия | Формулы |
Умножение | z1 · z2 = r1 · r2 (cos (φ1 + φ2) + i sin (φ1 + φ2)) |
Деление | z1 r1
— = — (cos (φ1 – φ2) + i sin (φ1 – φ2))
z2 r2 |
Возведение в степень | (r (cos φ + i sin φ))n = rn (cos nφ + i sin nφ) |
Формула Муавра | (cos φ + i sin φ)n = cos nφ + i sin nφ |
Извлечение корня | ̣ φ + 2kπ φ + 2kπ
n√r(cos φ + i sin φ) = n√r · (cos ———— + i sin ————),
n n где k = 0; 1; 2; …; n – 1
|
