Комплексные числа


Комплексные числа – это расширение множества действительных чисел. Это числа вида

z = a + bi,

где a и b – действительные числа, i – мнимое число.

Мнимое число – это число, квадрат которого равен -1:

i2 = -1

 

Алгебраические действия с комплексными числами

Сложение:

Формула

Пример

 

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

 

 

(2 + 3i) + (3 – i) = (2 + 3) + (3 – 1)i = 5 + 2i

Вычитание:

Формула

Пример

 

(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i

 

 

(2 + 3i) – (3 – i) = -1 + 4i

Умножение:

Формула

Пример

 

(a + bi) (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i

 

 

(2 – 3i) (1 + i) = 2 + 2i – 3i – 3i2 = (2 + 3) + (2 – 3)i = 5 - i

Деление:

Формула

Пример

 a + bi       ac + bd       bc - ad
——— =  ———  +  ——— i
 c + di        c2 + d2       c2 + d2

 

при c2 + d2 ≠ 0

 

  2 + i           2 · 1 + 1 · 1        1 – 2            3      1
———  =   —————  +  ——— i  =  — – — i
  1 + i               1 + 1               1 + 1           2      2

 

Равенство комплексных чисел:

a + bi = c + di

при a = c, b = d

 

Тригонометрическая форма комплексного числа:

z = r (cos φ + i sin φ)

 

Модуль комплексного числа:

                    ̣
r = √a2 + b2

 

Аргумент комплексного числа:

              a                   b
cos φ = —,    sin φ = —
              r                    r

 

Тригонометрические действия с комплексными числами

Действия

Формулы

 

Умножение

 

 

z1 · z2 = r1 · r2 (cos (φ1 + φ2) + i sin (φ1 + φ2))

 

 

Деление

z1        r1
—  =  — (cos (φ1 – φ2) + i sin (φ1 – φ2))
z2        r2

 

Возведение в степень

 

 

(r (cos φ + i sin φ))n = rn (cos nφ + i sin nφ)

 

Формула Муавра

 

 

(cos φ + i sin φ)n = cos nφ + i sin nφ

 

Извлечение корня

 

                               ̣                     φ + 2kπ               φ + 2kπ
n√r(cos φ + i sin φ)  = n√r · (cos ———— + i sin ————),
                                                        n                          n

где k = 0; 1; 2; …; n – 1
Сделать бесплатный сайт с uCoz