Четные и нечетные функции. Периодические функции

 

Четная функция.

Четной называется функция, знак которой не меняется при изменении знака x.

Говоря иначе, для любого значения x выполняется равенство f(–x) = f(x). Знак x не влияет на знак y.

График четной функции симметричен относительно оси координат (рис.1).

Примеры четной функции:

y = cos x

y = x2

y = –x2

y = x4

y = x6

y = x2 + x

Пояснение:
Возьмем функцию y = x2 или y = –x2.
При любом значении x функция положительная. Знак x не влияет на знак y. График симметричен относительно оси координат. Это четная функция.

 

Нечетная функция.

Нечетной называется функция, знак которой меняется при изменении знака x.

Говоря иначе, для любого значения x выполняется равенство f(–x) = –f(x).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис.2).

Примеры нечетной функции:

y = sin x

y = x3

y = –x3

 

Пояснение:

Возьмем функцию y = –x3.
Все значения у в ней будут со знаком минус. То есть знак x влияет на знак y. Если независимая переменная – положительное число, то и функция положительная, если независимая переменная – отрицательное число, то и функция отрицательная: f(–x) = –f(x).
График функции симметричен относительно начала координат. Это нечетная функция.

 

Свойства четной и нечетной функций:

1) Сумма четных функций является четной функцией.
    Сумма нечетных функций является нечетной функцией.

2) Если функция f четна, то и функция 1/f четна.
    Если функция f нечетна, то и функция 1/f нечетна.

3) Произведение двух четных функций является четной функцией.
    Произведение двух нечетных функций тоже является четной функцией.

4) Произведение четной и нечетной функции является нечетной функцией.

5) Производная четной функции нечетна, а нечетной — четна.

 

ПРИМЕЧАНИЕ:

Не все функции являются четными или нечетными. Есть функции, которые не подчиняются такой градации. К примеру, функция корня у = √х не относится ни к четным, ни к нечетным функциям (рис.3). При перечислении свойств подобных функций следует давать соответствующее описание: ни четна, ни нечетна.

 

Периодические функции.

Как вы знаете, периодичность – это повторяемость определенных процессов с определенным интервалом. Функции, описывающие эти процессы, называют периодическими функциями. То есть это функции, в чьих графиках есть элементы, повторяющиеся с определенными числовыми интервалами.

Сделать бесплатный сайт с uCoz