Монотонность функции

 

Возрастающие и убывающие функции объединяют общим понятием: монотонные функции.

Монотонная функция – это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.

Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Говоря иначе, если при возрастании значения x значение y тоже возрастает, то это возрастающая функция.

Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Говоря иначе, если при возрастании значения x значение y убывает, то это убывающая функция.

Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.

Функция постоянна (немонотонна), если она не убывает и не возрастает.

 

 


Свойства монотонных функций:

1) Сумма нескольких возрастающих функций является возрастающей функцией.

2) Произведение неотрицательных возрастающих функций есть возрастающая функция.

3) Если функция f возрастает и сохраняет знак, то функция 1/f убывает.

4) Если функция f возрастает и неотрицательна, то fn тоже возрастает (n ∈ N).

5) Композиция g (f (x)) возрастающих функций f и g также возрастает.

6) Если функция f возрастает, то функции cf (c > 0) и f + c также возрастают, а функция cf (c < 0) убывает (c – некоторая константа).

 

Производная и монотонность функции.

Зависимость между знаком производной и характером монотонности:

Если на промежутке Х функция возрастает и имеет на нем производную, то производная неотрицательна.

Если на промежутке Х функция убывает и имеет на нем производную, то производная неположительна.

 

Условия возрастания или убывания функции y = f(x):

Функция возрастает, если во всех точках открытого промежутка Х производная f ′(x) больше нуля:

f ′(x) > 0.

Говоря проще, функция возрастает, если производная положительна.

Примечание: Равенство f ′(x) = 0 либо выполняется лишь в конечном множестве точек, либо не выполняется вовсе.

 

Функция убывает, если во всех точках открытого промежутка Х производная f ′(x) меньше нуля:

f ′(x) < 0.

Говоря проще, функция убывает, если производная отрицательна.

Примечание: равенство f ′(x) = 0 либо выполняется лишь в конечном множестве точек, либо не выполняется вовсе.

 

Условие существования постоянной функции:

Функция y = f(x) постоянна на промежутке Х, если во всех точках этого промежутка производная
f ′(x) равна нулю:

f ′(x) = 0

 

Монотонность некоторых функций:


Функция



Производная


Монотонность


Линейная функция

y = ax + b


y' = a

При a > 0 возрастает

При a < 0 убывает.

При a = 0 постоянна.

Прямая пропорциональность
y = kx  (k ≠ 0)


y' = k

При k > 0 возрастает.

При k < 0 убывает.

Обратная пропорциональность

                     k
            y = ——   (k ≠ 0)
                     x

 
                     
k
        
y' = – ——
                    
x2

При k > 0 убывает на (–∞; 0) и (0; +∞).

При k < 0 возрастает на (–∞; 0) и (0; +∞)

Квадратичная функция

y = ax2 + bx + c

 

y' = 2ax + b

При a > 0 убывает на (–∞; –b/2a]
и возрастает на [–b/2a; +∞).

При a < 0 возрастает на (–∞; –b/2a]
и убывает на [–b/2a; +∞).

Функция корня

y = √x

                     1
           y' = ——
                  
2x


Возрастает на промежутке [0; +∞)

 

Сделать бесплатный сайт с uCoz