Построение графика квадратичной функции

Возьмем формулу квадратичной функции y = ax² + bx + c. Проведя вычисления, можно прийти к другому виду этой формулы (можете вычислить сами):

                b          b² – 4ac
y = a(x + — )² – ————.
                2a            4a

Заменим полученные дроби буквами m и n. Тогда мы получим формулу, которая уже известна нам из предыдущего раздела:

y = a(x – m)² + n,  где

              b
 m = – ——,
             2a

           b² – 4ac
n = – ————
               4a

Вывод:

Графиком функции y = ax² + bx + c является парабола, которую можно получить из графика функции y = ax² с помощью двух параллельных переносов - сдвига вдоль оси x вправо или влево, а вдоль оси y – вверх или вниз.
                                                                                                 b                 b² – 4ac
Вершиной этой параболы является (m; n), где m = – ——,   n = – ————.
                                                                                                2a                    4a

Три особенности этой параболы:

1) x = m (пояснение: ось симметрии параболы параллельна оси y)

2) y = n (пояснение: y = ax² + bx + c = a(x – m)² + n = n)

3) при a > 0 ветви параболы направлены вверх, при a<0 – вниз.

Чтобы построить график квадратичной функции, надо в первую очередь найти координаты вершины параболы.

Пример.

Надо построить график функции y = –2x² + 12x – 19.

Начинаем решать. Для этого отметим, что a = –2, b = 12, c = –19.

Мы видим, что a < 0. Значит, графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вниз.

Найдем координаты ее вершины – то есть значения m и n:

              b                12
 m = – —— = – ———— = 3
             2a            2 · (–2)

Значение n можно вычислить двумя способами. Один из них – формула, приведенная выше. Но поскольку x = m, а y = n (см.выше), то можно найти n более простым способом – непосредственно с помощью нашего выражения –2x² + 12x – 19, вставляя вместо x значение m, равное 3:

n = –2 · 3² + 12 · 3 – 19 = –1

Итак, вершина параболы имеет координаты (3; –1).

Далее с помощью приведенных формул просто находим координаты еще нескольких точек, отмечаем их на оси координат, соединяем точки – и получаем нашу параболу.