Показательная функция (экспонента)

Показательная функция – это функция вида y = a^x, где a > 0, a ≠ 1.

Следует различать показательную функцию y = a^x и степенную функцию y = xⁿ. Это совершенно разные функции.

Разница – в местоположении аргумента х. В показательной функции он является степенью, в степенной – основанием. Соответственно в показательной функции изменяется значение степени, в степенной – значение основания.

Пример-пояснение.

Сначала найдем координаты точек показательной функции y = 2^x.

Пусть х = 1, 2, 3, 4, 5.

Тогда мы получим следующие значения у:

2¹ = 2,

2² = 4

2³ = 8,

2⁴ =16,

2⁵ = 32.

Итак, у имеет следующие точки: 2, 4, 8, 16, 32.

Обратите внимание: в показательной функции основание неизменно (в нашем случае оно равно 2). Разные значения присваиваются степени.

Теперь найдем координаты точек степенной функции у = х².

Пусть х имеет те же значения, что и в первом случае:

х = 1, 2, 3, 4, 5.

Тогда мы получим следующие значения у:

1² = 1;

2² = 4,

3² = 9,

4² = 16,

5² = 25.

Таким образом, у имеет следующие точки: 1, 4, 9, 16, 25.

Обратите внимание: в степенной функции степень неизменна (в нашем случае она равна 2). Разные значения присваиваются основанию.

Как видите, разница между двумя функциями существенная.

Есть еще функция вида x^x. Она не является ни показательной, ни степенной. Иногда ее называют показательно-степенной.

График показательной функции y = a^x.

Графиком функции является кривая, которую называют экспонентой. Этим словом принято называть и саму функцию. Таким образом, экспонента – это показательная функция y = a^x.

При a > 1 экспонента возрастает. При 0 < a < 1 экспонента убывает.

В обоих случаях экспонента выпукла вниз.

Горизонтальной асимптотой функции является ось x
(при х → –∞, если a > 1, и при х → +∞, если 0 < a < 1).

  
Основные свойства показательной функции y = a^x.