Показательная функция (экспонента)

 

Показательная функция – это функция вида y = ax, где a > 0, a ≠ 1.

Следует различать показательную функцию y = ax и степенную функцию y = xn. Это совершенно разные функции.

Разница – в местоположении аргумента х. В показательной функции он является степенью, в степенной – основанием. Соответственно в показательной функции изменяется значение степени, в степенной – значение основания.

 

Пример-пояснение.

Сначала найдем координаты точек показательной функции y = 2x.

Пусть х = 1, 2, 3, 4, 5.

Тогда мы получим следующие значения у:

21 = 2,

22 = 4

23 = 8,

24 =16,

25 = 32.

Итак, у имеет следующие точки: 2, 4, 8, 16, 32.

Обратите внимание: в показательной функции основание неизменно (в нашем случае оно равно 2). Разные значения присваиваются степени.

 

Теперь найдем координаты точек степенной функции у = х2.

Пусть х имеет те же значения, что и в первом случае:

х = 1, 2, 3, 4, 5.

Тогда мы получим следующие значения у:

12 = 1;

22 = 4,

32 = 9,

42 = 16,

52 = 25.

Таким образом, у имеет следующие точки: 1, 4, 9, 16, 25.

Обратите внимание: в степенной функции степень неизменна (в нашем случае она равна 2). Разные значения присваиваются основанию.

Как видите, разница между двумя функциями существенная.


Есть еще функция вида xx. Она не является ни показательной, ни степенной. Иногда ее называют показательно-степенной.

 

График показательной функции y = ax.

Графиком функции является кривая, которую называют экспонентой. Этим словом принято называть и саму функцию. Таким образом, экспонента – это показательная функция y = ax.

При a > 1 экспонента возрастает. При 0 < a < 1 экспонента убывает.

В обоих случаях экспонента выпукла вниз.

Горизонтальной асимптотой функции является ось x
(при х → –∞, если a > 1, и при х → +∞, если 0 < a < 1).

  
Основные свойства показательной функции
y = ax.

1) Область определения функции – множество всех чисел:

D(f) = (–∞; +∞)

2) Область значений функции – все положительные числа:

E(f) = (0; +∞)

3) Функция ни четная, ни нечетная.

4) При a > 1 функция возрастает.
    При 0 < a < 1 функция убывает.

5) Не ограничена сверху, ограничена снизу.

6) Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

7) Непрерывна.

 

Сделать бесплатный сайт с uCoz