Градусная и радианная меры угла. Градусы, радианы и их соотношение


Определения.

Градусная мера угла – это величина угла в градусах.

Пример: прямой угол равен 90º.

 

Радианная мера угла – это величина угла в радианах.

Пример: прямой угол равен π/2 радиан.

 

 

Углом в 1 радиан называют центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности (см.рисунок).

 

В тригонометрии обычно пользуются радианной мерой, так как она удобнее.

  

Соотношение градуса и радиана:

                                         π
                               1º = —— рад
                                       180


где π ≈ 3,14

                                    180º
                       1 рад = ——
                                       π


где π ≈ 3,14

 

Величина 1 радиана в градусах:

Угол в 1 радиан равен ≈  57,3º:

                                                                    180º       180º
                                                       1 рад = ——  =  ——  ≈  57,3º
                                                                      π           3,14

 

Длина дуги 1 радиана:

Длина дуги 1 радиана равна радиусу окружности

 

Формулы для определения градусов и радиан:

                                                π
                               xº  =  x · ——
                                              180

 

где π ≈ 3,14

                                            180º
                       x рад  =  x · ——
                                              π

 

где π ≈ 3,14

 

Пример 1 (как выразить градусы в радианах):

                    π               30 π           π
30º = 30 · ——   =  ————  =  — рад.
                  180             180            6

 

                     π         2 π        2 · 3,14
72º  =  72 · —— = —— = ———— ≈ 1,3 рад.
                   180        5              5

 

Пример 2 (как выразить радианы в градусах):

  2π                  2π       180º         2 · 180
—— рад  =  —— · ———  =  ———  =  120º
   3                   3           π                3

 

                         180º         630º
4,5 рад = 3,5 · ——  =  ———  ≈ 200,5º
                           π           3,14

 

На числовой окружности развернутый угол приравнивают к π: 180º = π. Почему?

Вообще перед нами – сокращенное обозначение этого тождества. Его полная формулировка такова:

180º = π рад.

О чем это говорит?

Мы знаем, что π ≈ 3,14, а 1 радиан ≈ 57,3º.

«π рад» означает умножение одного π на один радиан. А их произведение как раз и равно 180º:

3,14 · 57,3 ≈ 180º.

Слово «рад» опускаем – и получаем знакомое нам тождество: 180º = π или π = 180º.

 

ВАЖНО ЗНАТЬ:

Для удобства при использовании радианной меры слово «рад» практически всегда опускают:

не «2π рад», а «2π»;

не «π/3 рад», а «π/3».

 

Примеры:

sin 2 означает: синус угла в два радиана.

cos (-1,5) означает: косинус угла в минус 1,5 радиана.

tg π/4 означает: тангенс угла в π/4 радиана.

Вообще записи sin x, cos x, tg x, ctg x означают синус, косинус, тангенс или котангенс угла, равного x радианам.

 

Сделать бесплатный сайт с uCoz