Тригонометрические свойства чисел числовой окружности


Свойство 1:

 

sin (–t) = –sin t

 

 

cos (–t) = cos t

 

tg (–t) = –tg t

 

ctg (–t) = –ctg t

Пояснение. Пусть t = –60º  и  t = –210º (см.рисунок).

cos –60º равен 1/2. Но cos 60º тоже равен 1/2. То есть косинусы –60º  и 60º  равны как по модулю, так и по знаку: cos –60º = cos 60º.

cos –210º равен –√3/2. Но cos 210º тоже равен –√3/2. То есть: cos –210º = cos 210º.

Таким образом, мы доказали, что cos (–t) = cos t.

sin –60º равен –√3/2. А sin 60º равен √3/2. То есть sin –60º и sin 60º равны по модулю, но противоположны по знаку.

sin –210º равен 1/2. А sin 210º равен –1/2. То есть sin –210º и sin 210º равны по модулю, но противоположны по знаку.

Таким образом, мы доказали, что sin (–t) = –sin t.

 Посмотрите, что происходит с тангенсами и котангенсами этих углов – и вы сами легко докажете себе верность двух других тождеств, приведенных в таблице.

Вывод: косинус – четная функция, синус, тангенс и котангенс – нечетные функции.

 

Свойство 2: Так как t = t + 2πk, то:

 

sin (t + 2πk) = sin t

 

 

cos (t + 2πk) = cos t

Пояснение: t и t + 2πk – это одна и та же точка на числовой окружности. Просто в случае с 2πk  мы совершаем определенное количество полных оборотов по окружности, прежде чем приходим к точке t. Значит, и равенства, изложенные в этой таблице, очевидны.

 

Свойство 3: Если две точки окружности находятся друг против друга относительно центра О, то их синусы и косинусы равны по модулю, но противоположны по знаку, а их тангенсы и котангенсы одинаковы как по модулю, так и по знаку.

 

sin (t + π) = –sin t

 

 

cos (t + π) = –cos t

 

tg (t + π) = tg t

 

ctg (t + π) = ctg t

Пояснение: Пусть точка М находится в первой четверти (см.рисунок ниже). Она имеет положительное значение синуса и косинуса. Проведем от этой точки диаметр – то есть отрезок, проходящий через центр оси координат и заканчивающийся  в точке окружности напротив. Обозначим эту точку буквой N. Как видите, дуга MN равна половине окружности. Мы знаем, что половина окружности – это величина, равная π. Значит, точка N находится на расстоянии π от точки М. Говоря иначе, если к точке М прибавить расстояние π, то мы получим точку N, находящуюся напротив:

М + π = N.

Точка N имеет те же значения синуса и косинуса, что и точка М, но с противоположным знаком (минус). То есть синус точки N равен синусу точки М с противоположным знаком, косинус точки N также равен косинусу точки М, но тоже с противоположным знаком:

sin (M + π) = –sin M, cos (M + π) = –cos M.

Или обобщая:

sin (t + π) = –sin t, cos (t + π) = –cos t.

Мы доказали, что синус и косинус диаметрально противоположных точек равны по модулю, но противоположны по знаку.

 

 Идем дальше. Тангенс и котангенс точки М имеют положительное значение. Но вычислите тангенс и котангенс точки N (разделите ее синус на косинус и косинус на синус) и увидите, что они тоже со знаком плюс.

Значит:

                     –sin t
tg (t + π) = ———— = tg t
                    –cos t

 

                      –cos t
ctg (t + π) = ———— = ctg t
                      –sin t

Мы доказали, что тангенс и котангенс диаметрально противоположных точек окружности имеют не только одинаковое значение, но и одинаковый знак.

 

Свойство 4: Если две точки окружности находятся в соседних четвертях, а расстояние между точками равно одной четверти окружности, то синус одной точки равен косинусу другой с тем же знаком, а косинус одной точки равен синусу второй с противоположным знаком.

    

Сделать бесплатный сайт с uCoz