Синус и косинус сложения аргументов

Зная формулы синуса и косинуса сложения (суммы и разности), вы сможете без труда выводить многие другие формулы тригонометрии.

Формулы:

 
Пример 1: Вычислить sin 75º  и  cos 75º.

Решение.

Представим 75º в виде 45º и 30º. Вычислим синусы и косинусы этих углов:

                     π         √2
sin 45º = sin —  =  ——
                     2           2

                     π      1
sin 30º = sin — = —
                     6      2

                       π         √2
cos 45º = cos —  =  ——
                       4          2

                       π       √3
cos 30º = cos — = ——
                       6        2

Найдем сначала sin 75º. Все наши преобразования и вычисления привели нас к следующим действиям:

sin (x + y) = sin (45 + 30) = sin 45 cos 30 + cos 45 sin 30 =

      √2       √3         √2        1           √6          √2          √6 + √2
=  —— ∙ ——  +  —— ∙ ——  =  ——  +  ——  =  ————
       2         2            2         2            4             4               4

Мы нашли значение синуса 75º. Теперь найдем косинус этого угла:

 cos 75º = cos (45º + 30º) = cos 45º cos 30º – sin 45º sin 30º =

  √2       √3         √2        1           √6          √2          √6 – √2 
—— ∙ ——  –  —— ∙ ——  =  ——  –  ——  =  ————
   2         2            2         2            4           4                 4

Мы нашли значение косинуса 75º.

Пример решен.

Пример 2: Решим выражение:

cos(π/4 + α) cos(π/4 – α) – sin(π/4 + α) sin(π/4 – α).

Решение.

1) Выражение не столько сложное, сколько объемное. Легко запутаться. Поэтому преобразуем каждую часть выражения отдельно:

cos(π/4 + α) = cos π/4 cos α – sin π/4 sin α;

cos(π/4 – α) = cos π/4 cos α + sin π/4 sin α;

sin(π/4 + α) = sin π/4 cos α + cos π/4 sin α;

sin(π/4 – α) = sin π/4 cos α – cos π/4 sin α.

2) Теперь соединим все полученные части (тут главное не запутаться в знаках между ними):

cos π/4 cos α – sin π/4 sin α cos π/4 cos α + sin π/4 sin α – sin π/4 cos α + cos π/4 sin α sin π/4 cos α – cos π/4 sin α.

3) Мы знаем, что cos π/4 = √2/2, sin π/4 = √2/2. Подставим эти величины вместо cos π/4 и sin π/4, затем сведем подобные члены и произведем сокращения:

√2/2 cos α – √2/2 sin α √2/2 cos α + √2/2 sin α – √2/2 cos α + √2/2 sin α √2/2 cos α – √2/2 sin α =  0.

Пример решен.

Пример 3: Решим выражение:

 cos (α + β) + sin α sin β           cos α cos β – sin α sin β + sin α sin β         cos α cos β
—————————— = ———————————————— = ————— = 1.
 cos (α – β) – sin α sin β           cos α cos β + sin α sin β – sin α sin β          cos α cos β

Пример решен.