Формулы двойного аргумента (двойного угла)

Выражения sin 2x, cos 2x, tg 2x можно выразить через sin x, cos x, tg x. Эти преобразующие формулы называются формулами двойного аргумента (или двойного угла).

Логику преобразования можно понять на примере выражения sin 2x.

Представим это выражение в виде sin (x + x).

Тогда мы легко можем применить формулу синуса суммы аргументов:

sin (x + x) = sin x cos x + cos x sin x = 2 sin x cos x.

Мы получили первую из формул двойного аргумента. А вот все формулы:

В первых строках мы показали, как была получена первая формула из таблицы. Вычислим остальные три.

2) cos 2x = cos² x – sin² x.

Здесь так же представляем 2х в виде х + х и применяем формулу косинуса сложения аргументов:

cos 2x = cos (x + x) = cos x cos x – sin x sin x = cos² x – sin² x.

3) cos 2x = 1 – 2 sin² x.

Здесь мы просто продолжим преобразовывать предыдущую формулу.
Используем для этого основное тригонометрическое тождество cos²x + sin²x = 1.
Из этого тождества следует, что cos²x = 1 – sin²x. Итак, выпишем предыдущую формулу, вставим значение cos²x, сведем подобные члены и получим результат:

cos 2x = cos² x – sin² x = 1 – sin² x – sin² x = 1 – 2sin² x.

                    2 tg x
4) tg 2x = ————
                   1 – tg² x

Способов, как прийти к такому тождеству, два.

Первый способ. Здесь нам поможет формула тангенса сложения аргументов. Для этого представим tg 2x в виде tg (x + х). Итак:

                                   tg х + tg х             2 tg х
tg 2x = tg (x + х) = —————— = —————
                                  1 – tg х tg х          1 – tg² х

Второй способ. Он сложнее. Сначала применяем формулы синуса и косинуса сложения аргументов:

                                     sin (x + х)           sin x cos х + cos x sin х
tg 2x =  tg (x + х) = —————— = ———————————
                                     cos (x + х)           cos x cos х – sin x sin х

Теперь, чтобы упростить выражение, делим все его части на cos x cos х, сокращаем подобные члены и приходим к решению:

   sin x cos х         cos x sin х               2 sin х
 ————— + —————          —————
  cos x cos х        cos x cos х               2 cos х                  2 tg x
———————————— = ——————— = —————
cos x cos x         sin x sin х                      sin² x               1 – tg² x
————— – —————           1 – ————     
 cos x cos x       cos x cos х                     cos² x

ПРИМЕЧАНИЕ:

При решении конкретных задач важно помнить, что задача имеет смысл лишь в том случае, если в процессе решения знаменатели нигде не оказываются равны нулю.

Теперь для наглядности решим несколько примеров по теме.

Пример 1. Упростить выражение:

 sin 2α
———
  sin α

Решение:

 sin 2α          2 sin α cos α
———  =  ——————  =  2 cos α
  sin α                sin α

Пример 2. Пусть tg α = 3/4  и 180º < α < 270º.

Найти sin 2α.

Решение.

В первую очередь, отмечаем, что угол находится в третьей четверти. Значит, синус будет со знаком минус.

                                                                                                                       1
1) Значение синуса мы могли бы найти через формулу 1 + ctg² α =  ———.
                                                                                                                     sin² α

Значит, нам надо сначала вычислить значение котангенса. Мы знаем, что tg α · ctg α = 1. Следовательно:

               1            1            4
ctg α = ——  =  ——  =  ——
             tg α         3/4          3

2) Теперь находим значение синуса:

                        1                        1                      1                 1            9
sin² α  =  —————  =  —————  =  ————  =  ——  =  ——
                 1 + ctg² α           1 + (4/3)²          1 + 16/9         25/9        25

                  3
sin α = – ——
                  5

3) Мы знаем, что sin 2α = 2 sin α cos α. Значит, находим еще косинус (по формуле cos² α + sin² α = 1). При этом опять не забываем, что угол – в третьей четверти и косинус должен быть со знаком минус. Итак:

                                            9            16
cos² α = 1 – sin² α  =  1 – ——  =  ——
                                           25           25

                  4
cos α = – ——
                  5

4) Осталось применить формулу двойного угла:

                          3               4          2 · 3 · 4        24
sin 2α = 2 · (– ——) · (– ——) = ———— = ——  =  0,96.
                          5               5             5 · 5          25

Пример решен.

Пример 3: Вычислить

         π             π
cos² — – sin² —
         8             8

Решение.

Это выражение соответствует правой части формулы косинуса двойного
аргумента (cos 2x = cos² x – sin² x). Значит, просто приравняем его к левой части. Для этого замечаем, что

         π
х  =  —
         8

Остается ввести в формулу это значение х и решить уравнение:

            π                π                     π                 2π                 π          √2
cos² —— – sin² —— = cos 2 ∙ —— = cos ——  =  cos ——  =  —— .
           8                8                     8                   8                  4           2

Пример решен.