|
Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения
1) Объясним первую формулу: x + y x – y Она поучена из формул синуса сложения и разности аргументов: sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α sin (α – β) = sin α cos β – sin β cos α. Сложим две формулы: sin (α + β) + sin (α – β) = sin α cos β + sin β cos α + sin α cos β – sin β cos α = 2 sin α cos β. Таким образом, sin (α + β) + sin (α – β) = 2 sin α cos β. К этой формуле вернемся в конце наших вычислений. Теперь введем новые переменные: вместо α + β напишем х, вместо α – β напишем у. Тогда: sin х + sin у = 2 sin α cos β. В то же время, введя новую переменную, мы получили систему уравнений. Решим ее методом алгебраического сложения: │α + β = х
│α + β + α – β = х + у
│2α = х + у
Вернемся к полученной нами сумме двух формул сложения аргументов: sin х + sin у = 2 sin α cos β. Осталось подставить в них полученные значения α и β, чтобы в итоге получить нашу формулу: x + y x – y 2) Вторая формула из таблицы логически вытекает из первой и доказывается просто. Вспомним свойство нечетности синуса: sin (–y) = –sin y. Из этого следует, что sin x – sin y = sin x + (–sin y). Следовательно: x + (–y) x – (–y) х – у х + у Таким образом: x – y x + y
Аналогично преобразуются в произведение суммы косинусов. Преобразуем еще суммы тангенсов и котангенсов. Порядок прост: представляем тангенсы и котангенсы как отношение синусов и косинусов, находим для полученных дробей общий знаменатель и применяем формулы сложения. То есть совершаем всего три действия: sin x sin y sin x cos y + cos x sin y sin (x + y)
cos x cos y cos x sin y + sin x cos y sin (x + y) ctg x + ctg y = ——— + ——— = ———————————— = —————— Преобразование разностей в произведение осуществляется таким же образом.
Решим несколько примеров.
Пример 1. Упростить выражение sin 60º + sin 30º. Решение. 60º + 30º 60º – 30º √2 Ответ: sin 60º + sin 30º = √2 cos 15º.
Пример 2. Упростить выражение sin 60º – sin 30º. Решение. 45º – 15º 45º + 15º √3 Ответ: sin 45º – sin 15º = √3 sin 15º.
|
|