Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения


Формулы преобразования сумм в произведения:

                                                                             x + y            x – y
                                             sin x + sin y = 2 sin ———  cos ———
                                                                                2                  2

                                                                             x – y            x + y
                                             sin x – sin y = 2 sin ———  cos ———
                                                                                2                  2

                                                                              x + y            x – y
                                          cos x + cos y = 2 cos ———  cos ———
                                                                                 2                  2

                                                                                x + y            x – y
                                            cos x – cos y = –2 sin ———  sin ———
                                                                                   2                  2

                                                                              sin (x + y)
                                                        tg x + tg y = —————
                                                                             cos x cos y

                                                                              sin (xy)
                                                        tg x – tg y = —————
                                                                              cos x cos y

                                                                                sin (x + y)
                                                      ctg x + ctg y = —————
                                                                                sin x sin y

                                                                               –sin (xy)
                                                        ctg x – ctg y = —————
                                                                                 sin x sin y

 

1) Объясним первую формулу:

                                  x + y            x – y
sin x + sin y = 2 sin ———  cos ———
                                     2                  2

Она поучена из формул синуса сложения и разности аргументов:

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

sin (α – β) = sin α cos β – sin β cos α.

Сложим две формулы:

sin (α + β) + sin (α – β) = sin α cos β + sin β cos α + sin α cos β – sin β cos α = 2 sin α cos β.

Таким образом,

sin (α + β) + sin (α – β) = 2 sin α cos β.

К этой формуле вернемся в конце наших вычислений.

Теперь введем новые переменные:

вместо α + β напишем х,

вместо α – β напишем у.

Тогда:

sin х + sin у = 2 sin α cos β.

В то же время, введя новую переменную, мы получили систему уравнений. Решим ее методом алгебраического сложения:

│α + β = х
│α – β = у

 

│α + β + α – β = х + у
│α + β – α + β = х – у

 

│2α = х + у
│2β = х – у


│         х + у
│α = ———
│           2

│          х – у
│ β = ———
│            2

Вернемся к полученной нами сумме двух формул сложения аргументов: sin х + sin у = 2 sin α cos β. Осталось подставить в них полученные значения α и β, чтобы в итоге получить нашу формулу:

                                   x + y             x – y
sin x + sin y = 2 sin ———  cos ———
                                     2                  2

2) Вторая формула из таблицы логически вытекает из первой и доказывается просто.

Вспомним свойство нечетности синуса: sin (y) = sin y.

Из этого следует, что sin x – sin y = sin x + (–sin y). Следовательно:

                                      x + (–y)             x – (–y)                х у           х + у
sin x + (–sin y) = 2 sin ————  cos ———— = 2 sin ——— cos ———.
                                            2                      2                         2                 2

Таким образом:

                                   x – y             x + y
sin x sin y = 2 sin ———  cos ———
                                     2                  2

 

Аналогично преобразуются в произведение суммы косинусов.

Преобразуем еще суммы тангенсов и котангенсов. Порядок прост: представляем тангенсы и котангенсы как отношение синусов и косинусов, находим для полученных дробей общий знаменатель и применяем формулы сложения. То есть совершаем всего три действия:

                      sin x          sin y            sin x cos y + cos x sin y              sin (x + y)
tg x + tg y = ——— + ———  =  ————————————  =  ——————
                      cos x         cos y                   cos x cos y                            cos x cos y

 

                         cos x         cos y             cos x sin y + sin x cos y               sin (x + y)

ctg x + ctg y = ——— + ———  =  ————————————  =  ——————
                         sin x         sin y                      sin x sin y                             sin x sin y     

Преобразование разностей в произведение осуществляется таким же образом.
Остальные формулы, приведенные в таблице, тоже тесно связаны с другими формулами тригонометрии. Попробуйте вычислить их самостоятельно.

 

Решим несколько примеров.

 

Пример 1. Упростить выражение

sin 60º + sin 30º.

Решение.

                                          60º + 30º            60º 30º
sin 60º + sin 30º = 2 sin ————— cos ————— = 2 sin 45º cos 15º =
                                               2                        2

          √2
= 2 · —— cos 15º = √2 cos 15º.
           2

Ответ: sin 60º + sin 30º = √2 cos 15º.

 

Пример 2. Упростить выражение

sin 60º – sin 30º.

Решение.

                                          45º – 15º            45º + 15º 
sin 45º – sin 15º = 2 sin ————— cos ————— = 2 sin 15º cos 30º =
                                               2                        2

                        √3
= 2 sin 15º · —— = √3 sin 15º.
                         2

Ответ: sin 45º – sin 15º = √3 sin 15º.

 

Сделать бесплатный сайт с uCoz