Вычисление основных тригонометрических формул


Формулы тригонометрии взаимосвязаны и вытекают одна из другой. Вы легко сможете самостоятельно вычислять многие из них, зная основное тригонометрическое тождество и формулы сложения аргументов.

Пример.

Возьмем формулу косинуса сложения аргументов:

cos (x + y) = cos x cos y – sin x sin y.

1) Пусть второй множитель в ней тоже равен х. Тогда:

cos (x + х) = cos x cos х – sin x sin х = cos2 x – sin2 x.

Но cos (x + х) = cos 2х. Следовательно, мы пришли к формуле двойного аргумента:

cos 2x = cos2 x – sin2 x.

 

2) К полученной формуле применим основное тригонометрическое тождество
cos2 x + sin2 x = 1. Преобразуем с его помощью sin2 x и придем к новой формуле:

cos 2x = cos2 x – (1 – cos 2 x) = cos2 x – 1 + cos 2 x = 2 cos 2 x – 1.

Мы получили еще одну формулу двойного аргумента:

cos 2x = 2 cos 2 x – 1.

 

3) Из полученной формулы двойного аргумента выведем значение cos2 x  и в результате получим формулу понижения степени:

2 cos2 x = 1 + cos 2x,

                1 + cos 2x
cos2 x = —————
                      
2

 

4) В полученной формуле понижения степени разделим х на 2. В результате мы придем к формуле половинного аргумента:

            х          1 + cos х
cos2 —— = —————
           2               2

Примечание.

С такой же последовательностью можно вычислить соответствующий ряд формул для синуса – а значит, и весь ряд формул для тангенса и котангенса.

Сделать бесплатный сайт с uCoz