Формулы приведения для тригонометрических функций


Формулы приведения – это формулы, позволяющие упростить сложные выражения тригонометрической функции.

Выражения типа π + t,  3π/2 – t,  π/2 + t и т.п. можно упростить настолько, что они будут состоять лишь из одного аргумента t. В предыдущих разделах мы имели дело с несколькими такими упрощениями – например, sin (π + t) = –sin t.

Формул приведения очень много. Запомнить их трудно – но самое главное, в этом нет необходимости. Достаточно запомнить одно-единственное правило – и вы легко сможете самостоятельно выводить формулы и упрощать выражения.

 

Правило приведения:

Для выражений
π +
t,   π – t,   2π + t,   2π – t

Для выражений
π/2 +
t,   π/2 – t,   3π/2 + t,  3π/2 – t

1) В приведенном выражении следует сохранить тригонометрическую функцию преобразуемого выражения.

2) Перед полученной функцией следует поставить тот знак, который имела бы преобразуемая функция при условии, что 0 < t < π/2.

1) В приведенном выражении следует изменить тригонометрическую функцию преобразуемого выражения на противоположную.

2) Перед полученной функцией следует поставить тот знак, который имела бы преобразуемая функция при условии, что 0 < t < π/2.

Обратите внимание: в левом и правом столбцах различаются только первые пункты правила. Вторые пункты абсолютно идентичны.

 

Пример 1: Надо преобразовать выражение cos (π + t).

Решение.

Следуем правилу:

1) Выражение не имеет дроби – значит, применяем левое правило. То есть функция после приведения остается прежней:

cos (π + t) = cos t.

2) Осталось определиться со знаком полученной функции.
Если предположить, что аргумент t больше нуля и меньше π/2, то π + t – это аргумент третьей четверти (то есть отмерили полукруг от точки А, а потом еще прошли дугу t длиной меньше π/2 и оказались в третьей четверти). А в третьей четверти косинус имеет знак минус. Значит, после преобразования наша функция обрела следующий тождественный вид:

cos (π + t) = –cos t.

Пример решен.

 

Пример 2: Надо преобразовать выражение sin (3π/2 – t).

Решение.

Следуем правилу:

1) Выражение имеет дробь – поэтому применяем правое правило. То есть функция меняется на обратную:

sin (3π/2 – t) = cos t

2) Теперь выясним, с каким знаком должно быть наше приведенное выражение. Снова предположим, что 0 < t < π/2. Тогда аргумент 3π/2 – t находится в третьей четверти. А в третьей четверти преобразуемая функция синус имеет знак минус. Значит, наше новое тождественное выражение тоже со знаком минус:

sin (3π/2 – t) = –cos t.

Пример решен.


Следуя этому правилу, можно составить другие формулы приведения.

Формулы приведения.

cos (π + t) = –cos t

sin (π + t) = –sin t

tg (π + t) = tg t

ctg (π + t) = ctg t

cos (π – t) = –cos t

sin (π – t) = sin t

tg (π – t) = –tg t

ctg (π – t) = –ctg t

cos (2π + t) = cos t

sin (2π + t) = sin t

tg (2π + t) = tg t

ctg (2π + t) = ctg t

cos (2π – t) = cos t

sin (2π – t) = –sin t

tg (2π – t) = –tg t

ctg (2π – t) = –ctg t

cos (π/2 + t) = –sin t

sin (π/2 + t) = cos t

tg (π/2 + t) = –ctg t

ctg (π/2 + t) = –tg t

cos (π/2 – t) = sin t

sin (π/2 – t) = cos t

tg (π/2 – t) = ctg t

ctg (π/2 – t) = tg t

cos (3π/2 + t) = sin t

sin (3π/2 + t) = –cos t

tg (3π/2 + t) = –ctg t

ctg (3π/2 + t) = –tg t

cos (3π/2 – t) = –sin t

sin (3π/2 – t) = –cos t

tg (3π/2 – t) = ctg t

ctg (3π/2 – t) = tg t

Примечание:

Часто встречаются более сложные выражения, но они не меняют правила.
Например, если cos (2π + t) = cos t, то cos (2π + 3t) = cos 3t.

 

Сделать бесплатный сайт с uCoz