Однородные тригонометрические уравнения

Однородное тригонометрическое уравнение – это уравнение двух видов:

a sin x + b cos x = 0 (однородное уравнение первой степени)

либо

a sin² x + b sin x cos x + c cos² x = 0 (однородное уравнение второй степени).

Алгоритм решения однородного уравнения первой степени a sin x + b cos x = 0:

 
Пример: Решим уравнение 2 sin x – 3 cos x = 0.

Решение.

Разделим обе части уравнения на cos x:

   2 sin x           3 cos x             0
————  –  ————  =  ———
     cos x            cos x             cos x

Получаем:

2 tg x – 3 = 0

2 tg x = 3

           3
tg x = —
           2

                3
x = arctg — + πn
                2

Пример решен.

Алгоритм решения однородного уравнения второй степени a sin² x + b sin x cos x + c cos² x = 0.

Условие: в уравнении должно быть выражение вида a sin² x.
Если его нет, то уравнение решается методом разложения на множители.

 
Пример: Решить уравнение sin² x – 3 sin x cos x + 2 cos² x = 0.

Решение.

Разделим обе части уравнения на cos² x:

  sin² x         3 sin x cos x          2 cos² x             0
———  –  ——————  +  ————  =  ———
 cos² x             cos² x                  cos² x           cos² x

Получаем:

tg² x – 3 tg x + 2 = 0.

Вместо tg x введем новую переменную z и получим квадратное уравнение:

z² – 3z + 2 = 0.

Найдем корни:
z₁ = 1
z₂ = 2.

Значит:
либо tg x = 1,
либо  tg x = 2.

Сначала найдем x при tg x = 1:
x = arctg 1 + πn.
x = π/4 + πn.

Теперь найдем x при tg x = 2:
x = arctg 2 + πn.

Ответ: x = π/4 + πn;  x = arctg 2 + πn.