Однородные тригонометрические уравнения
Однородное тригонометрическое уравнение – это уравнение двух видов:
a sin x + b cos x = 0 (однородное уравнение первой степени)
либо
a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = 0 (однородное уравнение второй степени).
Алгоритм решения однородного уравнения первой степени a sin x + b cos x = 0:
1) разделить обе части уравнения на cos x 2) решить получившееся выражение |
Пример: Решим уравнение 2 sin x – 3 cos x = 0.
Решение.
Разделим обе части уравнения на cos x:
2 sin x 3 cos x 0
———— – ———— = ———
cos x cos x cos x
Получаем:
2 tg x – 3 = 0
2 tg x = 3
3
tg x = —
2
3
x = arctg — + πn
2
Пример решен.
Алгоритм решения однородного уравнения второй степени a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = 0.
Условие: в уравнении должно быть выражение вида a sin2 x.
Если его нет, то уравнение решается методом разложения на множители.
1) Разделить обе части уравнения на cos2 x 2) Ввести новую переменную z, заменяющую tg x (z = tg x) 3) Решить получившееся уравнение |
Пример: Решить уравнение sin2 x – 3 sin x cos x + 2 cos2 x = 0.
Решение.
Разделим обе части уравнения на cos2 x:
sin2 x 3 sin x cos x 2 cos2 x 0
——— – —————— + ———— = ———
cos2 x cos2 x cos2 x cos2 x
Получаем:
tg2 x – 3 tg x + 2 = 0.
Вместо tg x введем новую переменную z и получим квадратное уравнение:
z2 – 3z + 2 = 0.
Найдем корни:
z1 = 1
z2 = 2.
Значит:
либо tg x = 1,
либо tg x = 2.
Сначала найдем x при tg x = 1:
x = arctg 1 + πn.
x = π/4 + πn.
Теперь найдем x при tg x = 2:
x = arctg 2 + πn.
Ответ: x = π/4 + πn; x = arctg 2 + πn.