Арккосинус


Арккосинус  в переводе с латинского означает дуга и косинус. Это обратная функция.

 


Арккосинус числа а – это такое число в отрезке от 0 до π, косинус которого равен а.

При этом | a | ≤ 1.

Обозначается так: arccos a.

 

Говоря иначе:

arccos a = t.

Следовательно, cos t = a.

Условия: модуль а не больше 1;  t не меньше 0, но не больше π

(| a | ≤ 1;  0 ≤ t  ≤ π)


Пример-пояснение: Найдем arccos √2/2 (см.рисунок).

Решение.

Выражение arccos √2/2 показывает, что косинус угла t равен √2/2 (cos t = √2/2).

Далее просто находим точку этого косинуса на числовой окружности, что и является ответом:

число √2/2, являющееся значением оси х, соответствует точке π/4 на числовой окружности.
Значит, arccos √2/2 = π/4.

 

Обратите внимание:

если cos π/4 = √2/2, то arccos √2/2 = π/4.

То есть в первом случае по точке на числовой окружности определяем значение косинуса, а во втором – наоборот, по значению косинуса находим точку на числовой окружности. Движение в обратную сторону. Это и есть арккосинус.

Обобщим: косинус – это точка на оси х, а арккосинус – это соответствующая ей точка на окружности.

Формулы:

t = ± arccos a  +  2πk,     где k – любое целое число

arccos (-a) = π – arccos a,    где 0 ≤ a ≤ 1

 

Пример 1: Вычислить арккосинус 1/2.

Решение.

Итак, а = 1/2. Значит, наша формула arccos a = t обретает конкретику:

arccos 1/2 = t.

Это означает, что косинус угла t равен 1/2:

cos t = 1/2.

При этом наша точка t находится на отрезке [0; π].

Находим значение t. Для этого смотрим на числовую окружность. Мы видим, что число 1/2 является абсциссой точки π/3 – то есть является косинусом угла π/3. Иначе говоря:

t = π/3.

Подставляем значение t в выражение cos t = 1/2:

cos π/3 = 1/2. При этом π/3 входит в отрезок [0; π].

Совершаем обратное действие: если cos π/3 = 1/2, то:

arccos 1/2 = π/3.

Без объяснений процесс решения будет таким:

arccos 1/2 = t

cos t = 1/2,  t ∈ [0; π]

t = π/3,  π/3 ∈ [0; π]

arccos 1/2 = π/3

Пример решен.

Обратите внимание: косинусом π/3 является 1/2, а арккосинусом 1/2 является π/3. Движение в обратную сторону. Косинусом числа является точка на оси координат, а арккосинусом – точка на числовой окружности.


                                              √3
Пример 2: Найти arccos – ——
                                               2

 Решение.

                 √3
arccos (– ——) = t
                  2

                √3
cos t = – ——,    t ∈ [0; π]
                 2


                      √3
cos 5π/6 = – ——,    5π/6  ∈ [0; π]
                       2

                √3        5π
arccos – —— = ——
                 2          6

Пример решен.

Акцентируем ваше внимание: косинусом 5π/6 является -√3/2, а арккосинусом -√3/2 является 5π/6.

 

Сделать бесплатный сайт с uCoz