Простейшие тригонометрические уравнения: обобщения, таблицы значений x, примеры

 

Уравнение sin x = a

Условия:

1) | a | ≤ 1

2) при | a | > 1 уравнение sin x = a не имеет решения среди действительных чисел.

 

Формула решения уравнения sin x = a:

 x = (-1)n · arcsin α + πn

 где n – любое целое число (n ∈ Z).

 

Частные случаи, когда уравнение sin x = а имеет более простое решение:


Если…

 
То…


sin x = 0


x
= πn


sin x = 1


x = π/2 +2πn


sin x = –1


x
= –π/2 +2πn

 

Остальные значения x в уравнении sin x = а:


Если…

 
То…

                               1
                  sin x = —
                               2

                      π
               x = — + 2πn
                      6

                       5π
               x = —— + 2πn
                        6

                                  1
                  sin x = – —
                                  2

                         π
               x = – — + 2πn
                         6

                          5π
               x = – —— + 2πn
                           6

                              √2
                  sin x = —
                               2

                      π
               x = — + 2πn
                      4

                      3π
               x = —— + 2πn
                        4

                                 √2
                  sin x = – —
                                  2

                         π
               x = – — + 2πn
                         4

                         3π
               x = – —— + 2πn
                           4

                              √3
                  sin x = —
                               2

                      π
               x = — + 2πn
                      3

                      2π
               x = —— + 2πn
                        3

                                 √3
                  sin x = – —
                                  2

                         π
               x = – — + 2πn
                         3

                         2π
               x = – —— + 2πn
                           3

 

Уравнение cos x = a

Условия:

1) | a | ≤ 1

2) при | a | > 1 уравнение sin x = a не имеет решения среди действительных чисел.


Формула решения уравнения
cos x = a:

 x = ± arccos α + 2πk

 где k – любое целое число (k ∈ Z).

 
Частные случаи, когда уравнение
cos x = а имеет более простое решение:


Если…

 
То…

 
cos x = 0

                                                     π
                                              x = —  +  πk
                                                     2

 
cos x = 1

 
x = 2πk

 
cos x = –1

 
x
= π + 2πk

 

Остальные значения x в уравнении cos x = а:


Если…


То…

                               1
                  cos x = —
                               2

                         π
               x = – — + 2πk
                         3

                      π
               x = —  +  2πk
                      3

                                  1
                  cos x = – —
                                  2

                          2π
               x = – —— + 2πk
                           3

                       2π
               x = —— + 2πk
                        3

                              √2
                  cos x = —
                               2

                         π
               x = – — + 2πk
                         4

                      π
               x = —  +  2πk
                      4

                                 √2
                  cos x = – —
                                  2

                          3π
               x = – —— + 2πk
                           4

                      3π
               x = —— + 2πk
                        4

                              √3
                  cos x = —
                               2

                         π
               x = – —  +  2πk
                         6

                      π
               x = —  +  2πk
                      6

                                 √3
                  cos x = – —
                                  2

                          5π
               x = – —— + 2πk
                           6

                       5π
               x = —— + 2πk
                        6

 

Уравнения tg x = a и ctg x = a.

Формула решения уравнения tg x = a:

 x = arctg a + πk

 где a – любое действительное число (a R),

k – любое целое число (k ∈ Z).

 

Формула решения уравнения ctg x = a:

 x = arcctg a + πk

где a – любое действительное число (a R),

k – любое целое число (k ∈ Z).

 

Значения x в уравнениях tg x = а  и  ctg x = а:


Если…


То…

 
tg x = 0

 
---

 
x
= πk

                              √3
                  tg x = ——
                               3

 
ctg x = √3

                      π
               x = —  +  πk
                      6

                                √3
                  tg x = – ——
                                 3

 
ctg x = –√3

                         π
               x = – —  +  πk
                         6

 
g x = 1

 
ctg x = 1

                      π
               x = —  +  πk
                      4

 
tg x = –1

 
ctg x = –1

                         π
               x = – —  +  πk
                         4

 
tg x = √3

                              √3
                 ctg x = ——
                               3

                      π
               x = —  +  πk
                      3

 
tg x = –√3

                                 √3
                 ctg x = – ——
                                  3

                         π
               x = – —  +  πk
                         3

 
---

 
ctg x = 0

                      π
               x = —  +  πk
                      2

 

Примеры.

1) Решим уравнение

               √2
sin 3x = ——
                 2

Решение.

Для простоты заменим переменную 3x обобщенной переменной t. Итак:

3x = t .

Тогда наше уравнение принимает привычный вид:


             √2
sin t = ——
              2

Применяем формулу:

                           √2
t = (–1)n arcsin —— + πn
                            2

Находим значение арксинуса:

             √2      π
arcsin —— = —
             2        4

Подставляем это значение арксинуса:

               π
t = (–1)n — + πn
               4

Теперь вместо t  вновь подставляем переменную 3x:

                   π
3x = (–1)n  — + πn
                   4

Находим значение переменной, применяя правило деления дробей:

                 π                                   π       1         πn                     π           πn
x = (–1)n  — : 3 + πn : 3 = (–1)n  —  ∙  —  +  ——  =  (–1)n  ——  +  ——
                 4                                   4       3          3                     12           3

Ответ:

                   π           πn

x = (–1)n  ——  +  ——

                  12           3

 

2) Решим уравнение

                     1
cos 2
x  =  –
                   
  2

Решение.

Напомним: решать пример будем по формуле

x = ± arccos a + 2πn.

Для простоты можем заменить 2x на t. Тогда наша формула примет вид t = ± arccos a + 2πn. Но в данном случае можем обойтись и без этого.
Итак, вычисляем значение арккосинуса:

                           1                       2π
2x = ± arccos (– —) + 2πn = ± —— + 2πn
                           2                        3

Находим значение x, применяя правило деления дробей:

           2π                                   2π      1                   2π                    π
x = ± —— : 2  + 2πn : 2  =  ± —— ∙ — + πn = ± —— + πn  =  ± — + πn
            3                                    3        2                    6                     3

Ответ:

          π
x = ± —  +  πn
          3

 

3) Решим уравнение

              π           √3
tg (4x – —)  =  ——
              6            3

Решение.

Напомним: здесь мы применяем формулу

x = arctg a + πn.

Чтобы не запутаться при следующем шаге, заменим в формуле переменную x на переменную t: 

t = arctg a + πn.

Далее отмечаем, что:

               π
t = (4x – —).
               6

Тогда наше уравнение принимает следующий вид:

         π               √3
4x – — = arctg —— + πn.
         6                3

Находим значение арктангенса:

          √3        π
arctg —— = —
            3        6

Подставляем значение арктангенса в нашу формулу:

         π        π
4x – —  =  — + πn.
         6        6

Находим значение 4x:

          π       π                 2π                 π
4x =  —  + —  +  πn = —— +  πn = — + πn
          6       6                  6                  3

Осталось найти значение x, применяя правило деления дробей:

         π                        π       1          πn           π          πn
x =  — : 4 + πn : 4 =  —  ∙  —  +  ——  =  ——  + ——
        3                         3        4          4           12          4

Ответ:

          π          πn
x =  ——  + ——,  n ∈ Z
         12          4

 

Сделать бесплатный сайт с uCoz