Внеклассный урок - Простейшие тригонометрические уравнения: обобщения, таблицы значений x, примеры

Простейшие тригонометрические уравнения: обобщения, таблицы значений x, примеры

Уравнение sin x = a

Условия:

1) | a | ≤ 1

2) при | a | > 1 уравнение sin x = a не имеет решения среди действительных чисел.

Формула решения уравнения sin x = a:

x = (-1)ⁿ · arcsin α + πn

где n – любое целое число (n ∈ Z).

Частные случаи, когда уравнение sin x = а имеет более простое решение:

Если…	То…
sin x = 0	x = πn
sin x = 1	x = π/2 +2πn
sin x = –1	x = –π/2 +2πn

Остальные значения x в уравнении sin x = а:

Если…	То…
1 sin x = — 2	π x = — + 2πn 6	5π x = —— + 2πn 6
1 sin x = – — 2	π x = – — + 2πn 6	5π x = – —— + 2πn 6
√2 sin x = — 2	π x = — + 2πn 4	3π x = —— + 2πn 4
√2 sin x = – — 2	π x = – — + 2πn 4	3π x = – —— + 2πn 4
√3 sin x = — 2	π x = — + 2πn 3	2π x = —— + 2πn 3
√3 sin x = – — 2	π x = – — + 2πn 3	2π x = – —— + 2πn 3

Уравнение cos x = a

Условия:

1) | a | ≤ 1

2) при | a | > 1 уравнение sin x = a не имеет решения среди действительных чисел.

Формула решения уравнения cos x = a:

x = ± arccos α + 2πk

где k – любое целое число (k ∈ Z).

Частные случаи, когда уравнение cos x = а имеет более простое решение:

Если…	То…
cos x = 0	π x = — + πk 2
cos x = 1	x = 2πk
cos x = –1	x = π + 2πk

Остальные значения x в уравнении cos x = а:

Если…	То…
1 cos x = — 2	π x = – — + 2πk 3	π x = — + 2πk 3
1 cos x = – — 2	2π x = – —— + 2πk 3	2π x = —— + 2πk 3
√2 cos x = — 2	π x = – — + 2πk 4	π x = — + 2πk 4
√2 cos x = – — 2	3π x = – —— + 2πk 4	3π x = —— + 2πk 4
√3 cos x = — 2	π x = – — + 2πk 6	π x = — + 2πk 6
√3 cos x = – — 2	5π x = – —— + 2πk 6	5π x = —— + 2πk 6

Уравнения tg x = a и ctg x = a.

Формула решения уравнения tg x = a:

x = arctg a + πk

где a – любое действительное число (a ∈ R),

k – любое целое число (k ∈ Z).

Формула решения уравнения ctg x = a:

x = arcctg a + πk

где a – любое действительное число (a ∈ R),

k – любое целое число (k ∈ Z).

Значения x в уравнениях tg x = а и ctg x = а:

Если…		То…
tg x = 0	---	x = πk
√3 tg x = —— 3	ctg x = √3	π x = — + πk 6
√3 tg x = – —— 3	ctg x = –√3	π x = – — + πk 6
g x = 1	ctg x = 1	π x = — + πk 4
tg x = –1	ctg x = –1	π x = – — + πk 4
tg x = √3	√3 ctg x = —— 3	π x = — + πk 3
tg x = –√3	√3 ctg x = – —— 3	π x = – — + πk 3
---	ctg x = 0	π x = — + πk 2

Примеры.

1) Решим уравнение

√2
sin 3x = ——
2

Решение.

Для простоты заменим переменную 3x обобщенной переменной t. Итак:

3x = t .

Тогда наше уравнение принимает привычный вид:

√2
sin t = ——
2

Применяем формулу:

√2
t = (–1)ⁿ arcsin —— + πn
2

Находим значение арксинуса:

√2 π
arcsin —— = —
2 4

Подставляем это значение арксинуса:

π
t = (–1)ⁿ — + πn
4

Теперь вместо t вновь подставляем переменную 3x:

π
3x = (–1)ⁿ — + πn
4

Находим значение переменной, применяя правило деления дробей:

π π 1 πn π πn
x = (–1)ⁿ — : 3 + πn : 3 = (–1)ⁿ — ∙ — + —— = (–1)ⁿ —— + ——
4 4 3 3 12 3

Ответ:

π πn

x = (–1)ⁿ —— + ——

12 3

2) Решим уравнение

1
cos 2x = – —
2

Решение.

Напомним: решать пример будем по формуле

x = ± arccos a + 2πn.

Для простоты можем заменить 2x на t. Тогда наша формула примет вид t = ± arccos a + 2πn. Но в данном случае можем обойтись и без этого.
Итак, вычисляем значение арккосинуса:

1 2π
2x = ± arccos (– —) + 2πn = ± —— + 2πn
2 3

Находим значение x, применяя правило деления дробей:

2π 2π 1 2π π
x = ± —— : 2 + 2πn : 2 = ± —— ∙ — + πn = ± —— + πn = ± — + πn
3 3 2 6 3

Ответ:

π
x = ± — + πn
3

3) Решим уравнение

π √3
tg (4x – —) = ——
6 3

Решение.

Напомним: здесь мы применяем формулу

x = arctg a + πn.

Чтобы не запутаться при следующем шаге, заменим в формуле переменную x на переменную t:

t = arctg a + πn.

Далее отмечаем, что:

π
t = (4x – —).
6

Тогда наше уравнение принимает следующий вид:

π √3
4x – — = arctg —— + πn.
6 3

Находим значение арктангенса:

√3 π
arctg —— = —
3 6

Подставляем значение арктангенса в нашу формулу:

π π
4x – — = — + πn.
6 6

Находим значение 4x:

π π 2π π
4x = — + — + πn = —— + πn = — + πn
6 6 6 3

Осталось найти значение x, применяя правило деления дробей:

π π 1 πn π πn
x = — : 4 + πn : 4 = — ∙ — + —— = —— + ——
3 3 4 4 12 4

Ответ:

π πn
x = —— + ——, n ∈ Z
12 4

Сайт создан в системе uCoz