|
Методы решения тригонометрических уравнений1. Метод введения новой переменной. Пример 1: Решим уравнение 2 sin2 x + sin x – 1 = 0 Решение. Вводим новую переменную sin x = y. Тогда мы получаем обычное квадратное уравнение: 2y2 + y – 1 = 0. Решаем его: D = b2 – 4ac = 1 – 4 ∙ 2 ∙ (–1) = 1 + 8 = 9 √D = 3
–b + √D –1 + 3 1
–1 – 3 Таким образом: 1 Поскольку речь идет о синусе, то подставляем эти значения в формулы с арксинусом, вычисляем значения арксинусов и находим значения x: 1) x = (–1)n arcsin a + πk = (–1)n arcsin 1/2 + πk = (–1)n π/6 + πk 2) x = arcsin а + 2πn = arcsin (–1) + 2πn = –π/2 + 2πn Ответ:
Пример 2: Решим уравнение 6 sin2 x + 5 cos x – 2 = 0. Решение: Мы знаем, что sin2 x + cos2 x = 1. Отсюда выводим значение sin2 x: sin2 x = 1 – cos2 x. Вводим это значение sin2 x в наш пример: 6 (1 – cos2 x) + 5 cos x – 2 = 0. Раскрываем скобки: 6 – 6 cos2 x + 5 cos x – 2 = 0. Сводим подобные члены: 4 – 6 cos2 x + 5 cos x = 0. Поменяем местами слагаемые от большей степени к меньшей (как того требует правило): – 6 cos2 x + 5 cos x + 4 = 0. Введем опять новую переменную y = cos x и в результате получим квадратное уравнение: – 6у2 + 5у + 4 = 0. Решив его, находим корни: 1 или Символом у мы заменили cos. Значит, теперь разберемся с ним. Рассмотрим вариант 1 Мы видим, что в этом случае cos x больше 1 (cos x > 1). А значит, это уравнение корней не имеет (значение косинуса должно быть не меньше –1, но не больше 1). В другом уравнении cos x меньше 1 (cos x < 1). Значит, решаем его. Сначала находим значение арккосинуса: 1 2π Осталось найти x: 2π 2. Метод разложения на множители. Смысл в том, чтобы, разложив уравнение на множители, прийти к двум и более уравнениям, равным нулю. Затем среди них можно найди решение. То есть задача сводится к решению совокупности уравнений. Пример: Решим уравнение 2 sin x/2 cos 5x – cos 5x = 0. Решение. Находим общий множитель. Это cos 5x. Выносим его за скобки: cos 5x (2 sin x/2 – 1) = 0. Уравнение верно, если хотя бы один из множителей равен 0. Значит, приравняем оба множителя к нулю: cos 5x = 0 2 sin x/2 – 1 = 0. Находим значение х в первом уравнении. Так как 5х = π/2 + πn, то: х = π/10 + πn/5. Находим значение х во втором уравнении: sin x/2 = 1/2, x/2 = (-1)n π/6 + πn, x = (-1)n π/3 + 2πn. Ответ: х = π/10 + πn/5 x = (-1)n π/3 + 2πn, n ∈ Z.
|
|