Предел последовательности


Предел последовательности – это число, в окрестности которой содержатся все члены последовательности.

Пример: Пределом последовательности чисел 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 и т.д. является 0.
Пояснение: ряд чисел стремится к нулю и ниже нуля не опустится.


Не любая последовательность имеет предел. К примеру, последовательность 1, 2, 3, 4, 5, 6 и т.д. бесконечна и не имеет предела.

Свойство последовательности иметь или не иметь предел называется сходимостью. Если у последовательности есть предел, то говорят, что она сходится. Если у последовательности нет предела, то говорят, что она расходится.

   Случай, когда последовательность не имеет предела.

Если |q| > 1, то последовательность yn = qn расходится и не имеет предела.

Пример: Пусть q = 3. Тогда мы можем создать следующую последовательность чисел:

32; 33; 34; 35; 36; 37 и т.д. Ряд стремится к бесконечности. Предела нет.

 

Виды последовательности.

Последовательность (yn) называется ограниченной снизу, если все ее члены не меньше некоторого числа.

Для любого n выполняется неравенство yn ≥ m

Последовательность (yn) называется ограниченной сверху, если все ее члены не больше некоторого числа.

Для любого n выполняется неравенство yn ≤ М

Если каждый член последовательности yn больше предыдущего, то это возрастающая последовательность.

Если а > 1, то последовательность yn = an возрастает.

Пример: y1 < y2 < y3 < y4 < y5

Если каждый член последовательности меньше предыдущего, то это убывающая последовательность.

Если 0 < a < 1, то последовательность убывает.


Пример: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5…

 

Теорема.

Если lim  xn = b,  lim  yn = c, то
        n→∞          n→∞

1) предел суммы равен сумме пределов:

 lim  (xn + yn) = b + c
n→∞


2) предел произведения равен произведению пределов:

 lim  (xn yn) = bc
n→∞


3) предел частного равен частному пределов:

 lim  (xn/yn) = b/c, при c ≠ 0
n→∞


4) постоянный множитель можно вынести за знак предела:

 lim  (kxn) = kb
n→∞

 

Пример 1: Найти предел последовательности

dn = 6/n – 4/n2 + 8.

Решение:

 lim  6/n – lim  4/n2 + lim  8 = 0 – 0 + 8 = 8.
n→∞      n→∞         n→∞

Пример решен.

 

Пример 2: Найти предел последовательности

           2n2 + 3
  lim    ————
n→∞    n2 + 4

Решение.

Разделим числитель и знаменатель дроби на n2, произведем сокращения и получим ответ:

           2n2/n2  +  3/n2                    2  +  3/n2           2  +  0
  lim   ———————   =   lim   —————  =  ————  = 2.
n→∞   n2/n2  +  4/n2          n→∞   1  +  4/n2          1  +  0

Пример решен.

Сделать бесплатный сайт с uCoz