Предел последовательности
Предел последовательности – это число, в окрестности которой содержатся все члены последовательности.
Пример: Пределом последовательности чисел 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 и т.д. является 0.
Пояснение: ряд чисел стремится к нулю и ниже нуля не опустится.
Не любая последовательность имеет предел. К примеру, последовательность 1, 2, 3, 4, 5, 6 и т.д. бесконечна и не имеет предела.
Свойство последовательности иметь или не иметь предел называется сходимостью. Если у последовательности есть предел, то говорят, что она сходится. Если у последовательности нет предела, то говорят, что она расходится.
Случай, когда последовательность не имеет предела.
Если |q| > 1, то последовательность yn = qn расходится и не имеет предела.
Пример: Пусть q = 3. Тогда мы можем создать следующую последовательность чисел:
32; 33; 34; 35; 36; 37 и т.д. Ряд стремится к бесконечности. Предела нет.
Виды последовательности.
Последовательность (yn) называется ограниченной снизу, если все ее члены не меньше некоторого числа. Для любого n выполняется неравенство yn ≥ m |
Последовательность (yn) называется ограниченной сверху, если все ее члены не больше некоторого числа. Для любого n выполняется неравенство yn ≤ М |
Если каждый член последовательности yn больше предыдущего, то это возрастающая последовательность. Если а > 1, то последовательность yn = an возрастает.
Пример: y1 < y2 < y3 < y4 < y5… |
Если каждый член последовательности меньше предыдущего, то это убывающая последовательность. Если 0 < a < 1, то последовательность убывает.
Пример: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5…
|
Теорема.
Если lim xn = b, lim yn = c, то
n→∞ n→∞ 1) предел суммы равен сумме пределов: lim (xn + yn) = b + c
n→∞
2) предел произведения равен произведению пределов:
lim (xn yn) = bc
n→∞
3) предел частного равен частному пределов:
lim (xn/yn) = b/c, при c ≠ 0
n→∞
4) постоянный множитель можно вынести за знак предела:
lim (kxn) = kb
n→∞ |
Пример 1: Найти предел последовательности
dn = 6/n – 4/n2 + 8.
Решение:
lim 6/n – lim 4/n2 + lim 8 = 0 – 0 + 8 = 8.
n→∞ n→∞ n→∞
Пример решен.
Пример 2: Найти предел последовательности
2n2 + 3
lim ————
n→∞ n2 + 4
Решение.
Разделим числитель и знаменатель дроби на n2, произведем сокращения и получим ответ:
2n2/n2 + 3/n2 2 + 3/n2 2 + 0
lim ——————— = lim ————— = ———— = 2.
n→∞ n2/n2 + 4/n2 n→∞ 1 + 4/n2 1 + 0
Пример решен.
