Предел функции

Предел функции в заданной точке, предельной для области определения функции, – это такая величина,  к которой стремится функция при стремлении ее аргумента к данной точке.

Предел функции - это обобщение понятия предела последовательности.

Пример 1: Возьмем выражение lim  (x + 5)
                                                    ^x→1

Читается оно так: предел функции х + 5 при стремлении х к единице.

Что значит «стремление х к единице»?
Это значит, что х последовательно принимает значения, которые бесконечно приближаются к единице, но не совпадают с ней.

Вопрос: чему равен предел такой функции?

Решение:

Чтобы найти предел функции в нашем примере, надо просто подставить 1 в функцию (так как x→1):

lim  (x + 5) = 1 + 5 = 6.
^x→1

Ответ: пределом функции x + 5 при стремлении х к единице является 6:

lim  (x + 5) =  6.
^x→1

Пример 2 (с бесконечностью):

Возьмем наш первый пример, но при стремлении х к бесконечности:

lim  (x + 5).
^x→∞

x→∞ - это случай, когда х не стремится к какому-то числу, а неограниченно возрастает.
К примеру, сначала х = 10, потом х = 20, потом х = 30 и т.д. до бесконечности.
В этом случае функция тоже неограниченно возрастает, стремясь к бесконечности:

10 + 5 = 15
20 + 5 = 25
30 + 5 = 35 и т.д.

Таким образом, получаем ответ:

lim  (x + 5) = ∞
^x→∞

Пример 3 (с минус бесконечностью):

Найдем предел функции 5 – х:

lim   (5 – х) = ?
^x→∞

Решение:

Допустим, х имеет следующие значения: 2, 4, 6, 8, 10, 12 и т.д. до бесконечности.
Тогда наша функция будет иметь следующие значения: 3, 1, –1, –3, –5, –7 и так до минус бесконечности.
Мы видим, что функция неограниченно убывает, стремясь к минус бесконечности.

Ответ: lim   (5 – х) = –∞
           ^x→∞

Пример 4 (с дробью):

Не всегда при x→∞ функция неограниченно возрастает.

Возьмем функцию с дробью и найдем ее предел при стремлении х к бесконечности:

lim  3/х = ?
^x→∞

Решение:

Допустим, х имеет следующие значения: 1, 2, 3, 4, 5 и т.д. до бесконечности.
Тогда мы получим следующие значения функции: 3, 3/2, 1, 3/4, 3/5 и т.д.
Если мы продолжим этот ряд до бесконечности, то увидим, что каждое последующее значение функции меньше предыдущего, но ни одно из них не опускается ниже нуля. То есть функция стремится к нулю, но не пересекает его. А говоря иначе, ноль является пределом нашей функции.

Таким образом:

lim  3/х = 0.
^x→∞