Экстремум функции

 

Определения:

Экстремумом называют максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве.

Точка экстремума – это точка, в которой достигается максимальное или минимальное значение функции.

Точка максимума – это точка, в которой достигается максимальное значение функции.

Точка минимума – это точка, в которой достигается минимальное значение функции.

 

Пояснение.

На рисунке в окрестности точки х = 3 функция достигает максимального значения (то есть в окрестности именно этой точки нет точки выше). В окрестности х = 8 она опять же имеет максимальное значение (снова уточним: именно в этой окрестности нет точки выше). В этих точках возрастание сменяется убыванием. Они являются точками максимума:

xmax = 3,  xmax = 8.

В окрестности точки х = 5 достигается минимальное значение функции (то есть в окрестности х=5 точки ниже нет). В этой точке убывание сменяется возрастанием. Она является точкой минимума:

xmin = 5.

Точки максимума и минимума являются точками экстремума функции, а значения функции в этих точках – ее экстремумами.

  

Точка xо является точкой максимума, если у нее существует окрестность, во всех точках которой f(x) меньше или равно f(xо):

f(x) ≤ f(xо)

Упрощенная формулировка: если в точке xо производная меняет знак с плюса на минус, то xо является точкой максимума.

 

Точка хо является точкой минимума, если у нее существует окрестность, во всех точках которой f(x) больше или равно f(xо):

f(x) ≥ f(xо)

Упрощенная формулировка: если в точке xо производная меняет знак с минуса на плюс, то xо является точкой минимума.

 

Критические и стационарные точки функции:

Внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует, называют критическими точками.

Внутренние точки области определения функции, при которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками.

 

Необходимое условие экстремума:

Если xо – точка экстремума функции f (x), то в этой точке либо производная обращается в нуль (и это стационарная точка), либо производная не существует (критическая точка).

 

Достаточное условие экстремума:

Пусть xо – критическая точка. Если производная f ′(x) при переходе слева направо через точку xо меняет знак плюс на минус, то xо – точка максимума:

xо – точка максимума,

y = f(xо) – максимум.

 

Если производная f ′(x) при переходе слева направо через точку xо меняет знак минус на плюс, то xо – точка минимума:

xо – точка минимума,

y = f(xо) – минимум.

 

Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке xо экстремума нет.

На отрезке [a,b] функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка [a,b].

 

Алгоритм исследования непрерывной функции y = f(x) на монотонность и экстремумы:

1) Найти производную f ′(x).

2) Найти стационарные (f ′(x) = 0) и критические (f ′(x) не существует) точки функции y = f(x).

3) Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.

4) Сделать выводы о монотонности функции и ее точках экстремума.

 

Сделать бесплатный сайт с uCoz