|
Первообразная. Интегрирование.
Первообразная. Первообразную легко понять на примере. Возьмем функцию у = х3. Как мы знаем из предыдущих разделов, производной от х3 является 3х2: (х3)' = 3х2. Следовательно, из функции у = х3 мы получаем новую функцию: у = 3х2. То есть: функция у = х3 является первообразной для функции у = 3х2. Определение первообразной:
В нашем примере (х3)' = 3х2, следовательно у = х3 – первообразная для у = 3х2.
Интегрирование. Как вы знаете, процесс нахождения производной по заданной функции называется дифференцированием. А обратная операция называется интегрированием.
Правила и формулы для первообразной. (1)
Пример-пояснение: Найдем первообразную для функции у = 3х2 + sin x. Решение: Мы знаем, что первообразной для 3х2 является х3. Первообразной для sin x является –cos x. Складываем два первообразных и получаем первообразную для заданной функции: у = х3 + (–cos x), у = х3 – cos x. Ответ:
(2)
Пример-пояснение: Найдем первообразную для функции у = 2 sin x. Решение: Замечаем, что k = 2. Первообразной для sin x является –cos x. Следовательно, для функции у = 2 sin x первообразной является функция у = –2 cos x.
(3)
Пример-пояснение: Найдем первообразную для функции y = sin 2x. Решение: Замечаем, что k = 2. Первообразной для sin x является –cos x. Применяем нашу формулу при нахождении первообразной для функции y = cos 2x: 1 cos 2x cos 2x
Пример-пояснение. Возьмем функцию из предыдущего примера: y = sin 2x. Для этой функции все первообразные имеют вид: cos 2x
Пояснение. Возьмем первую строчку. Читается она так: если функция y = f(x) равна 0, то первообразной для для нее является 1. Почему? Потому что производная единицы равна нулю: 1' = 0. В таком же порядке читаются и остальные строчки. Как выписывать данные из таблицы? Возьмем восьмую строчку: (-cos x)' = sin x Пишем вторую часть со знаком производной, затем знак равенства и производную. Читаем: первообразной для функции sin x является функция -cos x. Или: функция -cos x является первообразной для функции sin x.
|
|