|
Треугольники
Основные понятия. Треугольник – это фигура, состоящая из трех отрезков и трех точек, не лежащих на одной прямой. Отрезки называются сторонами, а точки – вершинами.
Биссектриса треугольника – это отрезок, который делит угол вершины пополам и соединяет вершину с точкой на противолежащей стороне (рис.2).
Сумма углов треугольника равна 180º. Внешний угол треугольника равен сумме двух несмежных внутренних углов (рис.5). Внешний угол треугольника больше любого несмежного угла. Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого есть прямой угол (рис.7). Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой. Две другие стороны называются катетами. Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны (рис.8). Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья – основанием треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. (В нашем треугольнике угол А равен углу C). В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является одновременно и биссектрисой, и высотой треугольника.
Равносторонний треугольник. Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны (рис.9). Свойства равностороннего треугольника:
У треугольников есть оригинальные свойства, которые помогут вам успешно решать задачи, связанные с этими фигурами. Некоторые из этих свойств изложены выше. Но повторяем их еще раз, добавив к ним несколько других замечательных особенностей:
Первый признак равенства: если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Второй признак равенства: если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Третий признак равенства: если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Неравенство треугольника. В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.
Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c2 = a2 + b2. Площадь треугольника. 1) Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне: ah 2) Площадь треугольника равна половине произведения двух любых его сторон на синус угла между ними: 1
Синус, косинус, тангенс, котангенс острого угла треугольника. Синус острого угла α прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Косинус острого угла α прямоугольного треугольника – это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тангенс острого угла α – это отношение противолежащего катета к прилежащему катету. Котангенс острого угла α – это отношение прилежащего катета к противолежащему.
Правила: Катет, противолежащий углу α, равен произведению гипотенузы на sin α. Катет, прилежащий к углу α, равен произведению гипотенузы на cos α. Катет, противоположный углу α, равен произведению второго катета на tg α.
Основные тригонометрические тождества: sin α
2) sin2 α + cos2 α = 1
1
1 1
sin (90° – α) = cos α cos (90° – α) = sin α
При возрастании острого угла sin α и tg α возрастают, а cos α убывает. |
|