Синус, косинус, тангенс, котангенс острого угла. Тригонометрические функции.

 

Синус острого угла α прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Обозначается так: sin α.

Косинус острого угла α прямоугольного треугольника – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Обозначается так: cos α.


Тангенс
острого угла α – это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
Обозначается так: tg α.

Котангенс острого угла α – это отношение прилежащего катета к противолежащему.
Обозначается так: ctg α.

 

Синус, косинус, тангенс и котангенс угла зависят только от величины угла.

 

Правила:

Катет b, противолежащий углу α, равен произведению гипотенузы на sin α:

b = c · sin α

Катет a, прилежащий к углу α, равен произведению гипотенузы на cos α:

a = c · cos α

Катет b, противоположный углу α, равен произведению второго катета на tg α:

b = a · tg α

Катет a, прилежащий к углу α, равен произведению второго катета на ctg α:

a = b · ctg α

 

Основные тригонометрические тождества в прямоугольном треугольнике:

(α – острый угол, противолежащий катету b и прилежащий к катету a. Сторона с – гипотенуза. β – второй острый угол).

                              b
                  sin α = —
                              c

 

          sin2 α + cos2 α = 1

 

 

α + β = 90˚

 

                               a
                  cos α = —
                               c

                               1
           1 + tg2 α = ——
                            cos2 α

 

cos α = sin β

 

                             b
                  tg α = —
                             a

                                  1
           1 + ctg2 α =  ——
                                sin2 α

 

sin α = cos β

 

                               a
                  ctg α = —
                               b

                      1            1
            1  + ——  =  ——
                    tg2 α      sin2 α

 

tg α = ctg β

                            sin α
                  tg α = ——
                            cos α

 

 

 

 


При возрастании острого угла
sin α и tg α возрастают, а cos α убывает.


Для любого острого угла α:

sin (90° – α) = cos α

cos (90° – α) = sin α

Пример-пояснение:

Пусть в прямоугольном треугольнике АВС
АВ = 6,
ВС = 3,
угол А = 30º.

Выясним синус угла А и косинус угла В.

 

Решение.

1) Сначала находим величину угла В. Тут все просто: так как в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90º, то угол В = 60º:

В = 90º – 30º = 60º.

2) Вычислим sin A. Мы знаем, что синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Для угла А противолежащим катетом является сторона ВС. Итак:

               BC      3      1
sin A = —— = — = —
              AB      6       2

3) Теперь вычислим cos B. Мы знаем, что косинус равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Для угла В прилежащим катетом является все та же сторона ВС. Это значит, что нам снова надо разделить ВС на АВ – то есть совершить те же действия, что и при вычислении синуса угла А:

              BC       3      1
cos B = —— = — = —
              AB      6       2

 В итоге получается:
sin A = cos B = 1/2.

Или:

sin 30º = cos 60º = 1/2.

Из этого следует, что в прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла – и наоборот. Именно это и означают наши две формулы:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α

Убедимся в этом еще раз:

1) Пусть α = 60º. Подставив значение α в формулу синуса, получим:
    sin (90º – 60º) = cos 60º.
    sin 30º = cos 60º.

2) Пусть α = 30º. Подставив значение α в формулу косинуса, получим:
    cos (90° – 30º) = sin 30º.
    cos 60° = sin 30º.

 

(Подробнее о тригонометрии - см.раздел Алгебра)


Сделать бесплатный сайт с uCoz