Пояснение

Примеры

Перед нами предлог+местоимение ПРИ ТОМ:

1) если к ПРИ(ТОМ) можно задать вопрос при каком?

2) если ПРИ(ТОМ) нельзя заменить синонимом ПРИЧЁМ

Перед нами предлог+местоимение ПРИ ЧЁМ:

1) если к ПРИ(ЧЁМ) можно задать вопрос с чем?

2) если ПРИ(ЧЁМ) не является синонимом ПРИТОМ.

Следует писать раздельно: ПРИ ТОМ, ПРИ ЧЁМ.

При том вузе есть музыкальная студия.

1. При каком? При том.

2. Нельзя заменить словом причём

При чём осталась старуха в «Сказке о рыбаке и рыбке»?

1. С чем осталась?

2. Нельзя заменить словом притом

Перед нами союз:

1) если ПРИТОМ и ПРИЧЁМ являются друг для друга синонимами;

 2) если ПРИ(ТОМ) или ПРИ(ЧЁМ) можно заменить синонимами ДА И или К ТОМУ ЖЕ.

Следует писать слитно: ПРИТОМ, ПРИЧЁМ.

Дождь усилился, притом (причём, да и, к тому же) стало холодно.

Он радовался, причём (притом, к тому же) бурно.