Наибольший общий делитель (НОД).

Наименьшее общее кратное (НОК)

Наибольший общий делитель.

Наибольший общий делитель – это наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа a и b.

Чтобы найти НОД нескольких натуральных чисел, надо:

1) разложить их на простые множители;

2) из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел;

3) найти произведение оставшихся множителей.

Пример: найдем НОД чисел 48 и 36. Для этого находим делители обоих чисел (рис.1):

 
Итак, 48 = 2 · 2 · 2· 2 · 3, а 36 = 2 · 2 · 3 · 3.

Из множителей, входящих в разложение первого числа, вычеркнем те, которые не входят в разложение второго числа -т.е. две двойки (рис.2)

В столбце с вычеркнутыми числами остаются множители 2 · 2 · 3. Их произведение равно 12. Это число и является НОД чисел 48 и 36. То есть 12 - наибольшее общее число, на которое делятся 48 и 36.

 Если НОД натуральных чисел равен 1, то эти числа называют взаимно простыми (например, числа 24 и 35).

Наименьшее общее кратное.

Наименьшее общее кратное чисел a и b – это наименьшее натуральное число, которое делится на оба эти числа.

Чтобы найти НОК нескольких натуральных чисел, надо:

1) разложить их на простые множители;

2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;

3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел;

4) найти произведение получившихся множителей.

Пример: найдем НОК тех же чисел 48 и 36.

Как и в случае с НОД, сначала находим делители обоих чисел. Впрочем, мы уже нашли их в предыдущем примере (рис.3):

Из разложения второго числа вычеркиваем множители, которые входят в разложение первого числа (рис.4).

Теперь выпишем множители, входящие в разложение первого числа, добавим к ним оставшийся множитель из разложения второго числа (3), перемножим их и получим результат:

2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 = 144.

Число 144 – это и есть НОК чисел 48 и 36. То есть 144 – это минимальное число, которое делится без остатка и на 48, и на 36.