Арифметическая прогрессия
Прогрессия – это определенная последовательность чисел.
Последовательность обозначается так: (an)
Числа, образующие последовательность, называют членами последовательности.
Члены последовательности обычно обозначают буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена (a1, a2, a3 и т.д.- читается так: «а первое», «а второе», «а третье» и т.д.).
Последовательность может быть бесконечной или конечной.
Понятие арифметической прогрессии.
Арифметическая прогрессия – это такая последовательность чисел, которая получается в результате сложения каждого последующего члена с одним и тем же числом. |
Пример:
Возьмем последовательность чисел 3; 10; 17; 24; 31.
Здесь каждое последующее число на 7 больше предыдущего. То есть последовательность получилась в результате прибавления одного и того же числа 7 к каждому последующему члену. Это и есть арифметическая прогрессия:
3+7=10
10+7=17
17+7=24
24+7=31
Формула арифметической прогрессии.
Любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой: an = kn + b, где k и b – некоторые числа. И наоборот: если последовательность задана подобной формулой, то эта последовательность точно является арифметической прогрессией. |
Пример: формула an = 8n – 2 является формулой арифметической прогрессии, так как она задана формулой типа an = kn + b. В ней k = 8, b = –2.
Разность арифметической прогрессии.
Разность арифметической прогрессии – это разность между последующим и предыдущим членами прогрессии. Ее обычно обозначают буквой d. |
Пример:
Вернемся к нашей прогрессии 3; 10; 17; 24; 31. В ней разность между второй и первой, третьей и второй и т.д. членами равна 7. Число 7 и является разностью данной арифметической прогрессии.
Свойства арифметической прогрессии.
1) Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов. 2) Верно и обратное утверждение: если в последовательности чисел каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов, то эта последовательность является арифметической прогрессией. |
В нашем примере второй член равен средней арифметической первого и третьего членов:
3 + 17
——— = 10.
2
Точно так же третий член равен средней арифметической второго и четвертого членов и т.д.
Как найти определенный член арифметической прогрессии.
Чтобы найти n-й член арифметической прогрессии, следует применить формулу: an = a1 + d(n – 1) |
Пример:
Возьмем некую арифметическую прогрессию, в которой первый член равен 3, а разность арифметической прогрессии составляет 4. Надо найти 45-й член этой прогрессии.
Дано:
b1 = 3
d = 4
n = 45
---------
b45 - ?
Решение.
Применим формулу bn = b1 + d(n – 1):
b45 = 3 + 4(45 – 1) = 3 + 4 · 44 = 3 + 176 = 179.
Ответ: 45-й член заданной арифметической прогрессии – число 179.
Как найти сумму первых n членов арифметической прогрессии.
Сумму любого количества первых членов арифметической прогрессии можно найти
(a1 + an) n Если заданы первый член и разность арифметической прогрессии, то удобно пользоваться другой формулой:
2a1 + d(n – 1) |
Пример 1: Найдем сумму первых ста членов арифметической прогрессии 1+2+3+4+5 и т.д.+100.
Дано:
a1 = 1
n = 100
an = 100
————
S100 - ?
Решение:
(1 + 100) · 100 101 · 100
S100 = ——————— = ————— = 5050
2 2
Ответ: Сумма первых ста членов заданной арифметической прогрессии равна 5050.
Пример 2: Найдем сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии, в которой первый член равен 5, разность арифметической прогрессии составляет 3.
Дано:
a1 = 5
d = 3
————
S20 - ?
Решение:
1) Найдем сначала двадцатый член по уже известной нам формуле an = a1 + d(n – 1):
a20 = 5 + 3 (20 – 1) = 5 + 3 · 19 = 62.
2) Теперь уже легко решить нашу задачу.
По формуле 1:
(5 + 62) · 20
S20 = ——————— = 670
2
По формуле 2:
2 · 5 + 3 · (20 – 1)
S20 = ————————— · 20 = 670
2
Ответ: Сумма первых двадцати членов заданной арифметической прогрессии равна 670.