Геометрическая прогрессия
Геометрическая прогрессия – это такая последовательность отличных от нуля чисел, которая получается в результате умножения каждого последующего члена на одно и то же число, не равное нулю. |
Пример геометрической прогрессии: 2, 6, 18, 54, 162.
Здесь каждый член после первого в 3 раза больше предыдущего. То есть каждый последующий член является результатом умножения предыдущего члена на 3:
2 · 3 = 6
6 · 3 = 18
18 · 3 = 54
54 · 3 = 162.
Знаменатель геометрической прогрессии.
Знаменатель геометрической прогрессии – это число, равное отношению второго и любого последующего члена к предыдущему члену прогрессии. Ее обычно обозначают буквой q. |
В нашем примере при делении второго члена на первый, третьего на второй и т.д. мы получаем 3. Число 3 и является знаменателем данной геометрической прогрессии.
Свойства геометрической прогрессии:
1) Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению двух соседних членов, стоящих перед ним и после него: bn2 = bn-1 · bn+1
2) Верно и обратное утверждение: если в последовательности чисел квадрат любого ее члена, начиная со второго, равен произведению двух соседних членов, стоящих перед ним и после него, то эта последовательность является геометрической прогрессией: |
Пример:
Вернемся к нашей геометрической прогрессии 2, 6, 18, 54, 162. Возьмем четвертый член и возведем его в квадрат:
542 = 2916.
Теперь перемножим члены, стоящие слева и справа от числа 54:
18 · 162 = 2916.
Как видим, квадрат третьего члена равен произведению соседних второго и четвертого членов.
Как найти определенный член геометрической прогрессии.
Чтобы найти n-й член геометрической прогрессии, следует применить формулу: bn = b1 · qn – 1 |
Пример 1: Возьмем некую геометрическую прогрессию, в которой первый член равен 2, а знаменатель геометрической прогрессии равен 1,5. Надо найти 4-й член этой прогрессии.
Дано:
b1 = 2
q = 1,5
n = 4
————
b4 - ?
Решение.
Применяем формулу bn = b1 · qn – 1, вставляя в нее соответствующие значения:
b4 = 2 · 1,54 – 1 = 2 · 1,53 = 2 · 3,375 = 6,75.
Ответ: Четвертый член заданной геометрической прогрессии – число 6,75.
Пример 2: Найдем пятый член геометрической прогрессии, если первый и третий члены равны соответственно 12 и 192.
Дано:
b1 = 12
b3 = 192
————
b5 - ?
Решение.
1) Сначала нам надо найти знаменатель геометрической прогрессии, без которой решить задачу невозможно. В качестве первого шага с помощью нашей формулы выводим формулу для b3:
b3 = b1 · q3 – 1 = b1 · q2
Теперь мы можем найти знаменатель геометрической прогрессии:
b3 192
q2 = —— = —— = 16
b1 12
q = √16 = 4 или –4.
2) Осталось найти значение b5.
Если q = 4, то
b5 = b1q5-1 = 12 · 44 = 12 · 256 = 3072.
При q = –4 результат будет тот же. Таким образом, задача имеет одно решение.
Ответ: Пятый член заданной геометрической прогрессии – это число 3072.
Как найти сумму первых n членов геометрической прогрессии.
При q ≠ 1 сумму любого количества первых членов геометрической прогрессии можно найти с помощью одной из следующих формул: bnq – b1 b1 (qn – 1) Если q = 1, то все члены прогрессии просто равны первому члену: Sn = nb1 |
Пример: Найдем сумму первых пяти членов геометрической прогрессии (bn), в которой первый член равен 2, а знаменатель геометрической прогрессии 3.
Дано:
b1 = 2
q = 3
n = 5
————
S5 – ?
Решение.
Применяем вторую формулу из двух приведенных выше:
b1 (q5 – 1) 2 (35 – 1) 2 · (243 – 1) 484
S5 = ————— = ————— = ———————— = ————— = 242
q – 1 3 – 1 2 2
Ответ: Сумма первых пяти членов заданной геометрической прогрессии равна 242.
Сумма бесконечной геометрической прогрессии.
Следует различать понятия «сумма бесконечной геометрической прогрессии» и «сумма n членов геометрической прогрессии». Второе понятие относится к любой геометрической прогрессии, а первое – только к такой, где знаменатель меньше 1 по модулю.
Сумма бесконечной геометрической прогрессии – это предельное число, к которому сходится последовательность прогрессии. Говоря иначе, какой бы длинной не была геометрическая прогрессия, сумма ее членов не больше какого-то определенного числа и практически равна этому числу. Оно и называется суммой геометрической прогрессии. Не любая геометрическая прогрессия имеет такую предельную сумму. Она может быть только у такой прогрессии, знаменатель которой – дробное число меньше 1. |
Пример-пояснение:
Составим геометрическую прогрессию, в которой первый член – число 2, а знаметатель равен 1/2:
2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64 и т.д.
Сложим все полученные члены прогрессии:
2 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 = 255/64 ≈ 3,98 ≈ 4.
Можно продолжить прогрессию до 10, 100, миллиона членов, но во всех случаях сумма членов прогрессии будет практически равна 4. Число 4 и является суммой данной геометрической прогрессии.
Чтобы найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, не надо складывать все ее члены. Для этого существует замечательная и довольно простая формула.
Сумма S геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
b1
|
Решим наш пример с помощью этой формулы.
В нем b1 = 2, q = 1/2. Итак:
2 2
S = ———— = ———— = 4.
1 – 1/2 1/2
Пример решен.