|
Целые и дробные рациональные уравненияРациональные уравнения – это уравнения, в которых и левая, и правая части являются рациональными выражениями. (Напомним: рациональными выражениями называют целые и дробные выражения без радикалов, включающие действия сложения, вычитания, умножения или деления - например: 6x; (m – n)2; x/3y и т.п.)
Рациональное уравнение называется целым, или алгебраическим, если в нем нет деления на выражение, содержащее переменную. Примеры целого рационального уравнения: 5x – 10 = 3(10 – x) 3x Если в рациональном уравнении есть деление на выражение, содержащее переменную (x), то уравнение называется дробно-рациональным. Пример дробного рационального уравнения: 15
Примеры решения целых и дробных рациональных уравнений. Пример 1. Решим целое уравнение x – 1 2x 5x Решение: Находим наименьший общий знаменатель. Это 6. Делим 6 на знаменатель и полученный результат умножаем на числитель каждой дроби. Получим уравнение, равносильное данному: 3(x – 1) + 4x 5х Поскольку в левой и правой частях одинаковый знаменатель, его можно опустить. Тогда у нас получится более простое уравнение: 3(x – 1) + 4x = 5х. Решаем его, раскрыв скобки и сведя подобные члены: 3х – 3 + 4х = 5х 3х + 4х – 5х = 3 2х = 3 х = 3:2 x = 1,5. Пример решен.
Пример 2. Решим дробное рациональное уравнение x – 3 1 x + 5 Решение: Находим общий знаменатель. Это x(x – 5). Итак: x2 – 3х x – 5 x + 5 Теперь снова освобождаемся от знаменателя, поскольку он одинаковый для всех выражений. Сводим подобные члены, приравниваем уравнение к нулю и получаем квадратное уравнение: x2 – 3x + x – 5 = x + 5 x2 – 3x + x – 5 – x – 5 = 0 x2 – 3x – 10 = 0. Решив квадратное уравнение, найдем его корни: –2 и 5. Проверим, являются ли эти числа корнями исходного уравнения. При x = –2 общий знаменатель x(x – 5) не обращается в нуль. Значит, –2 является корнем исходного уравнения. При x = 5 общий знаменатель обращается в нуль, и два выражения из трех теряют смысл. Значит, число 5 не является корнем исходного уравнения. Ответ: x = –2
|
|