Уравнение с одной переменной. Корень уравнения. Уравнения n-й степени

Уравнение – это равенство, содержащее переменную, обозначенную буквой.

Корень уравнения (или решение уравнения) – это такое значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство.

Пример: решим уравнение (то есть найдем корень уравнения): 4x – 15 = x + 15

Итак:
4х – х = 15 + 15
3х = 30
х = 30 : 3
х = 10

Результат: уравнение имеет один корень – число 10.

Уравнение может иметь и два, три, четыре и более корней. Например, уравнение (х-4)(х-5)(х-6) = 0 имеет три корня: 4, 5 и 6.

Уравнение может вовсе не иметь корней. Например, уравнение х+2=х не имеет корней, т.к. при любом значении х равенство невозможно.

Равносильность уравнений.

Два уравнения являются равносильными, если они имеют одинаковые корни либо если оба уравнения не имеют корней.

Пример1:

Уравнения х + 3 = 5 и 3х – 1 = 5 равносильны, так как в обоих уравнениях х=2.

Пример 2:

Уравнения х⁴ + 2 = 1 и х² + 5 = 0 равносильны, так как оба уравнения не имеют корней.

Целое уравнение с одной переменной

Целое уравнение с одной переменной – это уравнение, левая и правая части которого являются целыми выражениями (о целых выражениях см.раздел «Рациональные выражения»).

Уравнение с одной переменной может быть записано в виде P(x) = 0, где P(x) – многочлен стандартного вида.

Например:
y² + 3y – 6 = 0
(здесь P(x) представлен в виде многочлена y² + 3y – 6).

В таком уравнении степень многочлена называют степенью уравнения.

В нашем примере представлено уравнение второй степени (так как в нем многочлен второй степени).

Уравнение первой степени.

Уравнение первой степени можно привести к виду:

ax + b = 0,

где x – переменная, a и b – некоторые числа, причем a ≠ 0.

Отсюда легко вывести значение x:

           b
x = – —
          a

Это значение x является корнем уравнения.

Уравнения первой степени имеют один корень.

Уравнение второй степени.

Уравнение второй степени можно привести к виду:

ax² + bx + c = 0,

где x – переменная, a, b, c – некоторые числа, причем a ≠ 0.

Число корней уравнения второй степени зависит от дискриминанта:

- если D > 0, то уравнение имеет два корня;

- если D = 0, то уравнение имеет один корень;

- если D < 0, то уравнение корней не имеет.

Уравнение второй степени может иметь не более двух корней.

(о том, что такое дискриминант и как находить корни уравнения, см.разделы «Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант» и «Другой способ решения квадратного уравнения»).

Уравнение третьей степени.

Уравнение третьей степени можно привести к виду:

ax³ + bx² + cx + d = 0,

где x – переменная, a, b, c, d – некоторые числа, причем a ≠ 0.

Уравнение третьей степени может иметь не более трех корней.

Уравнение четвертой степени.

Уравнение четвертой степени можно привести к виду:

ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e  = 0,

где x – переменная, a, b, c, d, e – некоторые числа, причем a ≠ 0.

Уравнение третьей степени может иметь не более четырех корней.

Обобщение:

1) уравнение пятой, шестой и т.д. степеней можно легко вывести самостоятельно, следуя приведенной выше схеме;

2) уравнение n-й степени может иметь не более n корней.

Пример 1: Решим уравнение

x³ – 8x² – x + 8 = 0.

Мы видим, что это уравнение третьей степени. Значит, у него может быть от нуля до трех корней.
Найдем их и тем самым решим уравнение.
Разложим левую часть уравнения на множители:

x²(x – 8) – (x – 8) = 0.

Применим правило разложения многочлена способом группировки его членов. Для этого поставим перед вторыми скобками число 1:

x²(x – 8) – 1(x – 8) = 0.

Теперь сгруппируем многочлены x² и –1, являющиеся множителями многочлена x–8.
Получим две группы многочленов: (x² –1) и (x – 8). Следовательно, наше уравнение примет новый вид:

(x – 8)(x² – 1) = 0.

Здесь выражение x² – 1 можно представить в виде x² – 1².
А значит, можем применить формулу сокращенного умножения: x² – 1² = (x – 1)(x + 1).
Подставим в наше уравнение это выражение и получим:

(x – 8)(x – 1)(x + 1) = 0.

Дальше все просто. При x – 8 = 0 всё уравнение тоже равно нулю.
И так – в случае и с двумя остальными выражениями x – 1 и x + 1. Таким образом:

x – 8 = 0

x – 1 = 0

x + 1 = 0

Осталось найти корни нашего уравнения:

x₁ = 0 + 8 = 8

x₂ = 0 + 1 = 1

x₃ = 0 – 1 = –1.

Уравнение решено. Оно имеет три корня: 8, 1 и –1.

Пример 2: Решим уравнение

(x² – 5x + 4)(x² – 5x +6) = 120.

Это уравнение сложнее. Но его можно упростить оригинальным образом – методом введения новой переменной.
В нашем уравнении дважды встречается выражение x² – 5x.
Мы можем обозначить его переменной y. То есть представим, что x² – 5x = y.

Тогда наше уравнение обретает более простой вид:

(y + 4)(y + 6) = 120.

Раскроем скобки:

y² + 4y + 6y + 24 = 120

y² + 10y + 24 = 120

Приравняем уравнение к нулю:

y² + 10y + 24 – 120 = 0

y² + 10y – 96 = 0

Мы получили обычное квадратное уравнение. Найдем его корни. Нет необходимости производить расчеты: о том, как решать подобные уравнения, подробно написано в разделах «Квадратные уравнения» и «Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант». Здесь же мы сразу выведем результат. Квадратное уравнение y² + 10y – 96 = 0 имеет два корня:

y₁ = -16

y₂ = 6

Буквой y мы заменили выражение x² – 5x. А значит, мы уже можем подставить значения y и найти корни заданного уравнения, тем самым решив задачу:

1) Сначала применяем значение y₁ = –16:

x² – 5x = –16

Чтобы решить это уравнение, превращаем его в квадратное уравнение:

x² – 5x + 16 = 0

Решив его, мы обнаружим, что оно не имеет корней.

2) Теперь применяем значение y₂ = 6:

x² – 5x = 6

x² – 5x – 6 = 0

Решив это квадратное уравнение, мы увидим, что у него два корня:

x₁ = –1

x₂ = 6.

Уравнение решено. Оно имеет два корня: –1 и 6.

Метод введения новой переменной позволяет легко решать уравнения четвертой степени, которые являются квадратными относительно x² (такие уравнения называют биквадратными).