Уравнение с одной переменной. Корень уравнения. Уравнения n-й степени
Уравнение – это равенство, содержащее переменную, обозначенную буквой.
Корень уравнения (или решение уравнения) – это такое значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство.
Пример: решим уравнение (то есть найдем корень уравнения): 4x – 15 = x + 15
Итак:
4х – х = 15 + 15
3х = 30
х = 30 : 3
х = 10
Результат: уравнение имеет один корень – число 10.
Уравнение может иметь и два, три, четыре и более корней. Например, уравнение (х-4)(х-5)(х-6) = 0 имеет три корня: 4, 5 и 6.
Уравнение может вовсе не иметь корней. Например, уравнение х+2=х не имеет корней, т.к. при любом значении х равенство невозможно.
Равносильность уравнений.
Два уравнения являются равносильными, если они имеют одинаковые корни либо если оба уравнения не имеют корней.
Пример1:
Уравнения х + 3 = 5 и 3х – 1 = 5 равносильны, так как в обоих уравнениях х=2.
Пример 2:
Уравнения х4 + 2 = 1 и х2 + 5 = 0 равносильны, так как оба уравнения не имеют корней.
Целое уравнение с одной переменной
Целое уравнение с одной переменной – это уравнение, левая и правая части которого являются целыми выражениями (о целых выражениях см.раздел «Рациональные выражения»).
Уравнение с одной переменной может быть записано в виде P(x) = 0, где P(x) – многочлен стандартного вида.
Например:
y2 + 3y – 6 = 0
(здесь P(x) представлен в виде многочлена y2 + 3y – 6).
В таком уравнении степень многочлена называют степенью уравнения.
В нашем примере представлено уравнение второй степени (так как в нем многочлен второй степени).
Уравнение первой степени.
Уравнение первой степени можно привести к виду:
ax + b = 0,
где x – переменная, a и b – некоторые числа, причем a ≠ 0.
Отсюда легко вывести значение x:
b
x = – —
a
Это значение x является корнем уравнения.
Уравнения первой степени имеют один корень.
Уравнение второй степени.
Уравнение второй степени можно привести к виду:
ax2 + bx + c = 0,
где x – переменная, a, b, c – некоторые числа, причем a ≠ 0.
Число корней уравнения второй степени зависит от дискриминанта:
- если D > 0, то уравнение имеет два корня;
- если D = 0, то уравнение имеет один корень;
- если D < 0, то уравнение корней не имеет.
Уравнение второй степени может иметь не более двух корней.
(о том, что такое дискриминант и как находить корни уравнения, см.разделы «Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант» и «Другой способ решения квадратного уравнения»).
Уравнение третьей степени.
Уравнение третьей степени можно привести к виду:
ax3 + bx2 + cx + d = 0,
где x – переменная, a, b, c, d – некоторые числа, причем a ≠ 0.
Уравнение третьей степени может иметь не более трех корней.
Уравнение четвертой степени.
Уравнение четвертой степени можно привести к виду:
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0,
где x – переменная, a, b, c, d, e – некоторые числа, причем a ≠ 0.
Уравнение третьей степени может иметь не более четырех корней.
Обобщение:
1) уравнение пятой, шестой и т.д. степеней можно легко вывести самостоятельно, следуя приведенной выше схеме;
2) уравнение n-й степени может иметь не более n корней.
Пример 1: Решим уравнение
x3 – 8x2 – x + 8 = 0.
Мы видим, что это уравнение третьей степени. Значит, у него может быть от нуля до трех корней.
Найдем их и тем самым решим уравнение.
Разложим левую часть уравнения на множители:
x2(x – 8) – (x – 8) = 0.
Применим правило разложения многочлена способом группировки его членов. Для этого поставим перед вторыми скобками число 1:
x2(x – 8) – 1(x – 8) = 0.
Теперь сгруппируем многочлены x2 и –1, являющиеся множителями многочлена x–8.
Получим две группы многочленов: (x2 –1) и (x – 8). Следовательно, наше уравнение примет новый вид:
(x – 8)(x2 – 1) = 0.
Здесь выражение x2 – 1 можно представить в виде x2 – 12.
А значит, можем применить формулу сокращенного умножения: x2 – 12 = (x – 1)(x + 1).
Подставим в наше уравнение это выражение и получим:
(x – 8)(x – 1)(x + 1) = 0.
Дальше все просто. При x – 8 = 0 всё уравнение тоже равно нулю.
И так – в случае и с двумя остальными выражениями x – 1 и x + 1. Таким образом:
x – 8 = 0
x – 1 = 0
x + 1 = 0
Осталось найти корни нашего уравнения:
x1 = 0 + 8 = 8
x2 = 0 + 1 = 1
x3 = 0 – 1 = –1.
Уравнение решено. Оно имеет три корня: 8, 1 и –1.
Пример 2: Решим уравнение
(x2 – 5x + 4)(x2 – 5x +6) = 120.
Это уравнение сложнее. Но его можно упростить оригинальным образом – методом введения новой переменной.
В нашем уравнении дважды встречается выражение x2 – 5x.
Мы можем обозначить его переменной y. То есть представим, что x2 – 5x = y.
Тогда наше уравнение обретает более простой вид:
(y + 4)(y + 6) = 120.
Раскроем скобки:
y2 + 4y + 6y + 24 = 120
y2 + 10y + 24 = 120
Приравняем уравнение к нулю:
y2 + 10y + 24 – 120 = 0
y2 + 10y – 96 = 0
Мы получили обычное квадратное уравнение. Найдем его корни. Нет необходимости производить расчеты: о том, как решать подобные уравнения, подробно написано в разделах «Квадратные уравнения» и «Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант». Здесь же мы сразу выведем результат. Квадратное уравнение y2 + 10y – 96 = 0 имеет два корня:
y1 = -16
y2 = 6
Буквой y мы заменили выражение x2 – 5x. А значит, мы уже можем подставить значения y и найти корни заданного уравнения, тем самым решив задачу:
1) Сначала применяем значение y1 = –16:
x2 – 5x = –16
Чтобы решить это уравнение, превращаем его в квадратное уравнение:
x2 – 5x + 16 = 0
Решив его, мы обнаружим, что оно не имеет корней.
2) Теперь применяем значение y2 = 6:
x2 – 5x = 6
x2 – 5x – 6 = 0
Решив это квадратное уравнение, мы увидим, что у него два корня:
x1 = –1
x2 = 6.
Уравнение решено. Оно имеет два корня: –1 и 6.
Метод введения новой переменной позволяет легко решать уравнения четвертой степени, которые являются квадратными относительно x2 (такие уравнения называют биквадратными).