Система уравнений с двумя переменными. Уравнения первой степени. Способы решения

Уравнение может содержать не одну, а две переменных. Понятно, что такие уравнения называются уравнениями с двумя переменными.

Система уравнений – это два и более уравнений, которыми можно манипулировать для нахождения общих решений. Система из двух уравнений вкючает в себя две переменных, значения которых являются общими для обоих уравнений. С помощью одного уравнения системы решается другое, а в итоге решаются оба уравнения системы.

Способы решения системы уравнений первой степени.

1. Решение методом подстановки.

Суть в том, что в системе уравнений выбираете наиболее простое, в котором одну переменную выражаете через другую. Результат подставляете во второе уравнение, благодаря чему преобразуете его в более простое уравнение с одной переменной. Вычисляете это уравнение и получаете значение одной из переменных. Подставляется его в первое уравнение и получаете значение второй переменной. Так вы решаете всю систему уравнений.

Пример: Решим систему уравнений

│x + y = 1
│2x – y = 2

Решение:

Первое уравнение системы проще второго – его и используем.
Выразим в нем x через у:

x = 1 – y

Подставляем это значение x в наше второе уравнение и находим значение y:

2(1 – y) – y = 2

2 – 2y – y = 2

2 – 3y = 2

3y = 2 – 2

3y = 0

y = 0.

Мы получили значение y. Подставляем его в наше первое уравнение и находим теперь уже значение x:

x + 0 = 1

x = 1

Мы нашли значения обеих переменных.

Ответ:

│x = 1
│y = 0

2. Решение методом сложения.

Этот метод целесообразно применять, если при сложении одно из неизвестных пропадает.

Пример 1: Решим систему уравнений

│x + y = 5
│x – y = 1

Решение.

Сложим (вычтем) почленно оба уравнения системы:

│(x + y) + (x – y) = 5 + 1
│(x + y) – (x – y) = 5 – 1

Раскрываем скобки в обоих уравнениях и сводим подобные члены. В результате в первом уравнении пропадает у, во втором х. Мы получаем уравнения с одной переменной, которые проще решать:

│ x + y + x – y = 6
│ x + y – x + y =  4

↓

│2x = 6
│2y = 4

↓

│x = 6 : 2
│y = 4 : 2

↓

│x = 3
│y = 2

Пример решен.

Необязательно производить взаимное сложение и вычитание двух уравнений системы. Часто достаточно бывает произвести одно из двух действий, чтобы вычислить значение одной из двух переменных. А зная одну переменную, мы уже легко сможем найти и вторую.

Пример 2. Решить систему уравнений

│2х + 4у = 26
│8х + 4у = 44

В обоих уравнениях есть число 4у. Значит, можем применить метод сложения. При этом произвести не взаимное сложение, а совершить лишь одно действие: вычесть из первого уравнения второе, чтобы 4у исчезло и чтобы в результате мы получили уравнение с одной переменной:

2х + 4у – 8х – 4у = 26 – 44.

-6х = -18

х = -18 : (-6)

х = 3

Теперь можем найти и значение у, подставив значение х в любое из двух уравнений системы:

2 · 3 + 4у = 26

6 + 4у = 26

4у = 20

у = 20 : 4

у = 5

Ответ: х = 3, у = 5.

Однако рассмотрим еще один пример.

Пример 3: Решим систему уравнений

│3х + 5у = 21
│8х – 3у = 7

Здесь нет переменных с одинаковыми коэффициентами, чтобы при вычитании они исчезли. Что делать в этом случае? Для таких случаев придумано оригинальное решение: умножим почленно первое уравнение на 3, а второе на 5. От этого истина не пострадает, потому что мы просто получим равносильные уравнения. Зато благодаря этому приему у нас появятся одинаковые переменные 15у:

│(3х + 5у = 21) · 3
│(8х – 3у = 7) · 5

↓

│3 · 3х + 3 · 5у = 3 · 21
│5 · 8х – 5 · 3у = 5 · 7

↓

│9х + 15у = 63
│40х – 15у = 35

Итак, у нас появились одинаковые переменные и мы можем сложить два уравнения, чтобы прийти к уравнению с одной переменной:

9х + 15у + 40х – 15у = 63 + 35

49х = 98

х = 2

Осталось найти значение второй переменной, подставив значение х, например, в первое уравнение системы:

3 · 2 + 5у = 21

6 + 5у = 21

5у = 21 – 6

5у = 15

у = 3.

Ответ: х = 2; у = 3.

Опять же не всегда нужно преобразовывать оба уравнения системы так, как было в предыдущем примере. Бывает и так, что достаточно изменить лишь одно из уравнений.

Пример 4. Решим систему уравнений:

│3х – 4у = 7
│х + 3у = 11

Здесь достаточно второе уравнение умножить на –3. Тогда мы получим число –3х, а при сложении двух уравнений придем к уравнению с одной переменной.
Итак, умножаем второе уравнение на –3:

(х + 3у = 11) · (–3)

–3х – 9у = –33

Теперь складываем два уравнения, приходим к уравнению с одной переменной у и решаем его:

3х – 4у –3х – 9у = 7 – 33

–13у = –26

у = 2.

И находим значение х. Это проще сделать во втором уравнении:

х + 3 · 2 = 11

х + 6 = 11

х = 5.

Ответ: х = 5; у = 2.

3. Решение методом введения новой переменной.

Пример. Решить систему уравнений

│       2                   3
│———— + ———— = 2
│   х – 3у          2х + у
│
│       8                  9
│———— – ———— = 1
│   х – 3у          2х + у

Перед нами система сложных уравнений, осложненных дробными числами. Наша задача – упростить их, чтобы потом решить. Если применить какой-нибудь из первых двух методов, получатся еще более сложные уравнения. Зато хорошо подходит метод введения новой переменной, благодаря которому мы целую дробь можем заменить одной переменной. Как это сделать?

Обратите внимание: у первых чисел обоих уравнений одинаковые знаменатели х – 3у, при этом их числители делятся на 2. У вторых чисел тоже одинаковые знаменатели 2х + у, а их числители делятся на 3. Этим и воспользуемся.

1) Выпишем снова нашу систему уравнений, разложив на множители числители второго уравнения и вынеся их за дробь:

│       2                   3
│———— + ———— = 2
│   х – 3у          2х + у
│
│            2                       3
│4 · ———— – 3 · ———— = 1
│         х – 3у             2х + у

Теперь в обоих уравнениях у нас абсолютно одинаковые первые дроби и абсолютно одинаковые вторые дроби.

2) Заменим эти дроби новыми переменными a и b следующим образом:

       2                          3
———— = а,    ———— = b.
   х – 3у                 2х + у

Так мы существенно упрощаем уравнения, которые обретают совсем иной вид:

│ а + b = 2
│4а – 3b = 1

3) Применяем уже известный нам метод подстановки.

Первое уравнение проще, поэтому сначала выражаем в нем а через b:

а = 2 – b.

Подставляем полученное значение а во второе уравнение, раскрываем скобки, приводим подобные члены и вычисляем численное значение b:

4 · (2 – b) – 3b = 1

8 – 4b – 3b = 1

8 – 7b = 1

7b = 8 – 1

7b = 7

b = 1

Раз нам известно численное значение b, то мы легко можем найти и численное значение а. Это проще сделать с помощью первого уравнения:

а + b = 2

а + 1 = 2

а = 2 – 1

а = 1.

Итак:

а = 1,  b = 1.

Вписываем в дроби эти значения а и b:

│       2
│———— = 1
│  х – 3у
│
│       3
│———— = 1
│  2х + у

4) Преобразуем эти уравнения по известному вам правилу: неизвестные влево, известные вправо:

│ х – 3у = 2 : 1
│2х + у = 3 : 1

↓

│ х – 3у = 2
│2х + у = 3

5) Решаем эту систему уравнений снова с помощью метода подстановки. Для этого в первом уравнении х выражаем через у:

х = 2 + 3у.

Подставляем во второе уравнение и находим у:

2 · (2 + 3у) + у = 3

4 + 6у + у = 3

7у = 3 – 4

7у = –1

у = –1/7

И с помощью первого уравнения находим х:

х – 3у = 2

х – 3 · (–1/7) = 2

х + 3/17 = 2

х = 2 – 3/7

х = 11/7.

Мы нашли значения х и у в нашей исходной системе уравнений – а значит, решили ее.

Ответ: х = 11/7, у = –1/7

ПРИМЕЧАНИЕ.

Как видно из этого примера, нередки случаи, когда при решении системы уравнений надо последовательно применить сразу несколько методов.