Целочисленные решения уравнений с двумя переменными

Пример:

Решим уравнение 16х² – 9у² = 55.

Решение.

Сначала вспомним формулы сокращенного умножения и запишем наше уравнение в другом виде:

(4х – 3у)(4х + 3у) = 55.

У нас получилось произведение двух целых чисел, которое равно 55. Теперь уясняем себе очевидные вещи.

Это произведение может равняться 55 в восьми случаях:

1) если первый множитель равен 1, а второй множитель равен 55:
│4х – 3у = 1
│4х + 3у = 55

2) если первый множитель равен 55, а второй 1:
│4х – 3у = 55
│4х + 3у = 1

3) если первый множитель равен –1, а второй равен –55:
│4х – 3у = –1
│4х + 3у = –55

4) если первый множитель равен –55, а второй равен –1:
│4х – 3у = –55
│4х + 3у = –1

5) если первый множитель равен 11, а второй 5:
│4х – 3у = 11
│4х + 3у = 5

6) если первый множитель равен 5, а второй 11:
│4х – 3у = 5
│4х + 3у = 11

7) если первый множитель равен –11, а второй равен –5:
│4х – 3у = –11
│4х + 3у = –5

8) если первый множитель равен –5, а второй равен –11:
│4х – 3у = –5
│4х + 3у = –11

Следовательно, решив восемь систем уравнений, мы найдем корни исходного уравнения. Не будем решать их здесь, а сразу напишем ответ.

Ответ: (7; 9), (7; –9), (–7; –9), (–7; 9), (2; –1); (2; 1); (–2: 1); (–2; –1).