Квадратное уравнение
Квадратное уравнение – это уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где x – переменная, a, b и c – некоторые числа, причем a ≠ 0.
Пример квадратного уравнения:
3x2 + 2x – 5 = 0.
Здесь а = 3, b = 2, c = –5.
Числа a, b и c – коэффициенты квадратного уравнения.
Число a называют первым коэффициентом, число b – вторым коэффициентом, а число c – свободным членом.
Приведенное квадратное уравнение.
Квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1, называют приведенным квадратным уравнением.
Примеры приведенного квадратного уравнения:
x2 + 10x – 11 = 0
x2 – x – 12 = 0
x2 – 6х + 5 = 0
здесь коэффициент при x2 равен 1 (просто единица во всех трех уравнениях опущена).
Неполное квадратное уравнение.
Если в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.
Примеры неполного квадратного уравнения:
-2x2 + 18 = 0
здесь есть коэффициент а, который равен -2, есть коэффициент c, равный 18, а коэффициента b нет – он равен нулю.
x2 – 5x = 0
здесь а = 1, b = -5, c = 0 (поэтому коэффициент c в уравнении отсутствует).
Как решать квадратные уравнения.
Чтобы решить квадратное уравнение, надо совершить всего два действия:
1) Найти дискриминант D по формуле:
D = b2 – 4ac.
Если дискриминант – отрицательное число, то квадратное уравнение не имеет решения, вычисления прекращаются. Если D ≥ 0, то
2) Найти корни квадратного уравнения по формуле:
–b ± √D
х1,2 = —————.
2а
Пример: Решить квадратное уравнение 3х2 – 5х – 2 = 0.
Решение:
Сначала определимся с коэффициентами нашего уравнения:
а = 3, b = –5, c = –2.
Вычисляем дискриминант:
D = b2 – 4ac = (–5)2 – 4 · 3 · (–2) = 25 + 24 = 49.
D > 0, значит, уравнение имеет смысл, а значит, можем продолжить.
Находим корни квадратного уравнения:
–b + √D 5 + 7 12
х1 = ————— = ———— = —— = 2
2а 6 6
–b – √D 5 – 7 2 1
х2 = ————— = ———— = – —— = – ——.
2а 6 6 3
1
Ответ: х1 = 2, х2 = – ——.
3