Теорема Виета
Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
(Напомним: приведенное квадратное уравнение – это уравнение, где первый коэффициент равен 1).
Пояснение:
Пусть квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет корни х1 и х2. Тогда по теореме Виета:
b c |
Пример 1:
Приведенное уравнение x2 – 7x + 10 = 0 имеет корни 2 и 5.
Сумма корней равна 7, а произведение равно 10.
А в нашем уравнении второй коэффициент равен -7, а свободный член 10.
Таким образом, сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней – свободному члену.
Довольно часто встречаются квадратные уравнения, которые можно легко вычислить с помощью теоремы Виета – больше того, с ее помощью их вычислять проще. В этом легко убедиться как на предыдущем примере, так и на следующем.
Пример 2. Решить квадратное уравнение х2 – 2х – 24 = 0.
Решение.
Применяем теорему Виета и записываем два тождества:
х1 · х2 = –24
х1 + х2 = 2
Подбираем такие множители для –24, чтобы их сумма была равна 2. После недолгих размышлений находим: 6 и –4. Проверим:
6 · (– 4) = –24.
6 + (– 4) = 6 – 4 = 2.
Как вы заметили, на практике суть теоремы Виета заключается в том, чтобы в приведенном квадратном уравнении свободный член разложить на такие множители, сумма которых равна второму коэффициенту с противопложным знаком. Эти множители и будут корнями.
Значит, корнями нашего квадратного уравнения являются 6 и –4.
Ответ: х1 = 6, х2 = –4.
Пример 3. Решим квадратное уравнение 3х2 + 2х – 5 = 0.
Здесь мы имеем дело не с приведенным квадратным уравнением. Но и такие уравнения тоже можно решать с помощью теоремы Виета, если их коэффициенты уравновешены – например, если сумма первого и третьего коэффициентов равна второму с обратным знаком.
Решение.
Коэффициенты уравнения уравновешены: сумма первого и третьего членов равны второму с противоположным знаком:
3 + (–5) = –2.
В соответствии с теоремой Виета
х1 + х2 = –2/3
х1 · х2 = –5/3.
Нам надо найти такие два числа, сумма которых равна –2/3, а произведение –5/3. Эти числа и будут корнями уравнения.
Первое число угадывается сразу: это 1. Ведь при х = 1 уравнение превращается в простейшее сложение-вычитание:
3 + 2 – 5 = 0. Как найти второй корень?
Представим 1 в виде 3/3, чтобы все числа имели одинаковый знаменатель: так проще. И сразу напрашиваются дальнейшие действия. Если х1 = 3/3, то:
3/3 + х2 = –2/3.
Решаем простое уравнение:
х2 = –2/3 – 3/3.
х2 = –5/3.
Ответ: х1 = 1; х2 = –5/3
Пример 4: Решить квадратное уравнение 7x2 – 6x – 1 = 0.
Решение:
Один корень обнаруживается сразу – он прямо в глаза бросается: х1 = 1 (потому что получается простая арифметика: 7 – 6 – 1 = 0).
Ищем дальше.
Коэффициенты уравнения уравновешены: сумма первого и третьего равны второму с обратным знаком:
7 + (– 1) = 6.
В соответствии с теоремой Виета составляем два тождества (хотя в данном случае достаточно одного из них):
х1 · х2 = –1/7
х1 + х2 = 6/7
Подставляем значение х1 в любое из этих двух выражений и находим х2:
х2 = –1/7 : 1 = –1/7
Ответ: х1 = 1; х2 = –1/7
Дискриминант приведенного квадратного уравнения.
Дискриминант приведенного квадратного уравнения можно вычислять как общей формуле, так и по упрощенной:
D = p2 – 4q где p – второй коэффициент квадратного уравнения, q – свободный член. |
При D = 0 корни приведенного уравнения можно вычислять по формуле:
-p ± √D |
Если D < 0, то уравнение не имеет корней.
Если D = 0, то уравнение имеет один корень.
Если D > 0, то уравнение имеет два корня.