Числовые неравенства. Свойства числовых неравенств.

Сложение и умножение числовых неравенств.

Если разность a – b положительное число, то a > b.

Если разность a – b отрицательное число, то a < b.

Теорема 1:

Если a > b, то b < a. Если a < b, то b > a.

Теорема 2:

Если a < b  и  b < c,  то  a <  c.

Теорема 3:

Если a < b  и при этом   c – любое число, то a + c < b + c.

Теорема 4:

Если a < b  и при этом   c – положительное число, то  ac < bc.

Если a < b  и при этом   c – отрицательное число, то  ac > bc.

Теорема 5:

Если  a < b  и  c < d,  то  a + c < b + d.  

Теорема 6:

Если  a < b  и  c < d,  где a, b, c, d – положительные числа, то ac < bd.

Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство.

Например, разделим/умножим на 3 обе части неравенства 6 < 9:

  6       9
 — < —   или 2 < 3
  3      3

6 · 3 < 9 · 3   или 18 < 27

Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.

Например, разделим/умножим на -3 обе части неравенства 6 < 9, одновременно изменив знак < на знак >:

6 < 9, но

    6          9
 - —  > - —,    или -2 > -3
    3          3

6 · (-3) > 9 · (-3)   или -18 > -27

                                                                                     1         1
 Если a и b – положительные числа и a < b, то  —  >  —
                                                                                     а         b

                                      1       1
 Например, 3 < 6,   но — > —
                                      3       6