Уравнения и неравенства с модулем
Модулем числа называется само это число, если оно неотрицательное, или это же число с противоположным знаком, если оно отрицательное.
Например, модулем числа 6 является 6, модулем числа –6 тоже является 6.
То есть под модулем числа понимается абсолютная величина, абсолютное значение этого числа без учета его знака.
Обозначается так: |6|, |х|, |а| и т.д.
(Подробнее – в разделе «Модуль числа»).
Уравнения с модулем.
Пример 1. Решить уравнение
|10х – 5| = 15.
Решение.
В соответствии с правилом, уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
│10х – 5 = 15
│10х – 5 = –15
Решаем:
│10х = 15 + 5 = 20
│10х = –15 + 5 = –10
↕
│х = 20 : 10
│х = –10 : 10
↕
│х = 2
│х = –1
Ответ: х1 = 2, х2 = –1.
Пример 2. Решить уравнение
|2х + 1| = х + 2.
Решение.
Поскольку модуль – число неотрицательное, то х + 2 ≥ 0. Соответственно:
х ≥ –2.
Составляем два уравнения:
│2х + 1 = х + 2
│2х + 1 = –(х + 2)
Решаем:
│2х + 1 = х + 2
│2х + 1 = –х – 2
↕
│2х – х = 2 – 1
│2х + х = –2 – 1
↕
│х = 1
│х = –1
Оба числа больше –2. Значит, оба являются корнями уравнения.
Ответ: х1 = –1, х2 = 1.
Пример 3. Решить уравнение
|х + 3| – 1
————— = 4
х – 1
Решение.
Уравнение имеет смысл, если знаменатель не равен нулю – значит, если х ≠ 1. Учтем это условие. Наше первое действие простое – не просто освобождаемся от дроби, а преобразуем ее так, чтобы получить подмодульное выражение в чистом виде:
|х + 3| – 1 = 4 · (х – 1),
|х + 3| – 1 = 4х – 4,
|х + 3| = 4х – 4 + 1,
|х + 3| = 4х – 3.
Теперь у нас в левой части уравнения только выражение под модулем. Идем дальше.
Модуль числа есть неотрицательное число – то есть он должен быть больше нуля или равен нулю. Соответственно, решаем неравенство:
4х – 3 ≥ 0
4х ≥ 3
х ≥ 3/4
Таким образом, у нас появилось второе условие: корень или корни уравнения должны быть не меньше 3/4.
В соответствии с правилом модуля составляем совокупность двух уравнений и решаем их:
│х + 3 = 4х – 3
│х + 3 = –(4х – 3)
↕
│ х + 3 = 4х – 3
│ х + 3 = –4х + 3
↕
│х – 4х = –3 – 3
│х + 4х = 3 – 3
↕
│х = 2
│х = 0
Мы получили два ответа. Проверим, являются ли они корнями исходного уравнения.
У нас было два условия: корень уравнения должен быть не меньше 3/4, но не может быть равен 1. То есть х ≠ 1, х ≥ 3/4. Обоим этим условиям соответствует только один из двух полученных ответов – число 2. Значит, только оно и является корнем исходного уравнения.
Ответ: х = 2.
Неравенства с модулем.
Пример 1. Решить неравенство:
|х - 3| < 4
Решение.
Правило модуля гласит:
|а| = а, если а ≥ 0.
|а| = –а, если а < 0.
Модуль может иметь и неотрицательное, и отрицательное число. Значит, мы должны рассмотреть оба случая:
х – 3 ≥ 0 и х – 3 < 0.
1) При х – 3 ≥ 0 наше исходное неравенство остается как есть, только без знака модуля:
х – 3 < 4.
2) При х – 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:
–(х – 3) < 4. Раскрыв скобки, получаем:
–х + 3 < 4.
Таким образом, от этих двух условий мы пришли к объединению двух систем неравенств:
│ х – 3 ≥ 0
│ х – 3 < 4
и
│ х – 3 < 0
│–х + 3 < 4
Решим их:
│х ≥ 3
│ х < 7
и
│х < 3
│х > –1
Итак, у нас в ответе объединение двух множеств:
3 ≤ х < 7 U –1 < х < 3.
Определяем наименьшее и наибольшее значения. Это –1 и 7. При этом х больше –1, но меньше 7. Кроме того, х ≥ 3. Значит, решением неравенства является все множество чисел от –1 до 7, исключая эти крайние числа.
Ответ: –1 < х < 7.
Или: х ∈ (–1; 7).
Дополнения.
1) Есть более простой и короткий способ решения нашего неравенства - графический. Для этого надо нарисовать горизонтальную ось (рис.1).
Выражение |х - 3| < 4 означает, что расстояние от точки х до точки 3 меньше четырех единиц. Отмечаем на оси число 3 и отсчитываем влево и вправо от от него 4 деления. Слева мы придем к точке -1, справа – к точке 7. Таким образом, точки х мы просто увидели, не вычисляя их.
При этом, согласно условию неравенства, сами -1 и 7 не включены во множество решений. Таким образом, получаем ответ:
–1 < х < 7.
2) Но есть еще одно решение, которое проще даже графического способа. Для этого наше неравенство надо представить в следующем виде:
–4 < х – 3 < 4.
Ведь так оно и есть по правилу модуля. Неотрицательное число 4 и аналогичное отрицательное число –4 являются границами решения неравенства.
Далее мы просто переносим влево и вправо число –3 с обратным знаком, оставляя х в одиночестве:
–4 + 3 < х < 4 + 3
–1 < х < 7.
Пример 2. Решить неравенство
|х – 2| ≥ 5
Решение.
Этот пример существенно отличается от предыдущего. Левая часть больше 5 либо равна 5. С геометрической точки зрения, решением неравенства являются все числа, которые от точки 2 отстоят на расстоянии 5 единиц и больше (рис.2). По графику видно, что это все числа, которые меньше или равны –3 и больше или равны 7. А значит, мы уже получили ответ.
Ответ: –3 ≥ х ≥ 7.
Попутно решим это же неравенство способом перестановки свободного члена влево и вправо с противоположным знаком:
–5 ≥ х – 2 ≥ 5
–5 + 2 ≥ х ≥ 5 + 2
Ответ тот же: –3 ≥ х ≥ 7.
Или: х ∈ [–3; 7]
Пример решен.
Пример 3. Решить неравенство:
6х2 – |х| – 2 ≤ 0
Решение.
Число х может быть и положительным числом, и отрицательным, и нулем. Поэтому нам надо учесть все три обстоятельства. Как вы знаете, они учитываются в двух неравенствах: х ≥ 0 и х < 0. При х ≥ 0 мы просто переписываем наше исходное неравенство как есть, только без знака модуля:
6х2 – х – 2 ≤ 0.
Теперь о втором случае: если х < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:
6х2 – (–х) – 2 ≤ 0.
Раскрываем скобки:
6х2 + х – 2 ≤ 0.
Таким образом, мы получили две системы уравнений:
│6х2 – х – 2 ≤ 0
│ х ≥ 0
и
│6х2 + х – 2 ≤ 0
│ х < 0
Надо решить неравенства в системах – а это значит, надо найти корни двух квадратных уравнений. Для этого приравняем левые части неравенств к нулю.
Начнем с первого:
6х2 – х – 2 = 0.
Как решается квадратное уравнение – см. раздел «Квадратное уравнение». Мы же сразу назовем ответ:
х1 = –1/2, х2 = 2/3.
Из первой системы неравенств мы получаем, что решением исходного неравенства является все множество чисел от –1/2 до 2/3. Пишем объединение решений при х ≥ 0:
[–1/2; 2/3].
Теперь решим второе квадратное уравнение:
6х2 + х – 2 = 0.
Его корни:
х1 = –2/3, х2 = 1/2.
Вывод: при х < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от –2/3 до 1/2.
Объединим два ответа и получим итоговый ответ: решением является все множество чисел от –2/3 до 2/3, включая и эти крайние числа.
Ответ: –2/3 ≤ х ≤ 2/3.
Или: х ∈ [–2/3; 2/3].